Математическое моделирование и компьютерный эксперимент. Артемов М.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

dt
dQ
dt
dQ
dt
dA
dt
dЭ
ie
++=
.
Обычно из полной энергии тела выделяют кинетическую энергию и внутреннюю энергию
UKЭ
+
=
, поэтому
dt
dK
dt
dQ
dt
dQ
dt
dA
dt
dE
ie
−++= .
Передача теплоты телу осуществляется за счет потока тепла через его границу, то есть
dVdS
dt
dQ
ΩΩ
e
∫∫
⋅∇=⋅=
∂
qqn ,
где q - поверхностная плотность потока тепла через границу тела .
Умножая уравнение движения на вектор скорости , приходим к уравнению изменения
кинетической энергии материальной точки
0
2
2
=⋅ρ−∇⋅+⋅⋅∇− v)vσ()vσ(
|v|
Ftr
dt
d ρ
(1)
где tr(A) – след тензора А.
В интегральной форме уравнение (1) определяет баланс кинетической энергии среды в
области (V)
∫
==
Ω
dV
ρ
dt
d
dt
dK
2
2
|v|
dVtrdVdV
ΩΩΩ
n
∫∫∫
∇⋅−⋅ρ+⋅
∂
v)σ(vFvp
.
Для безмоментной теории
)εσ (v)σ(
⋅
=
∇
⋅
trtr
,
ε
- тензор скоростей деформаций.
Учитывая, что мощность работы внешних сил
dVdV
dt
dA
ΩΩ
n
∫∫
⋅ρ+⋅=
∂
vFvp
,
уравнение баланса внутренней энергии замкнутой системы будет иметь вид
dVqtrdVρu
dt
d
dt
dU
Ω
i
Ω
∫∫
+⋅+⋅−∇== ))((
&
εσq
,
здесь
i
q
&
- функция источника энергии за счет различных механизмов взаимодействия, отличных
от работы сил и теплообмена.
В дифференциальной форме уравнение баланса энергии
i
qtr
dt
du
&
+⋅+⋅−∇= )( εσqρ .
Для достаточно широкого класса жидкостей имеет место равенство
Tcu
V
=
, (1)
где
T
- температура,
V
c - теплоемкость при постоянном объеме. Учитывая (1), приходим к
уравнению
i
V
qtr
dt
dT
c
&
+⋅+⋅−∇= )( εσqρ
2.2. Взаимодействие с электромагнитными полями
При движении электропроводной жидкости в электрическом и магнитном полях возникает
объемная сила электромагнитной природы, называемая также пандермоторной или силой Лоренца
[37]
HjEF ×+ρ=
c
e
1
, 
                                         dЭ dA dQ e dQ i
                                            = +    +     .
                                         dt  dt dt   dt
    Обычно из полной энергии тела выделяют кинетическую энергию и внутреннюю энергию
Э =K +U , поэтому

                                    dE dA dQe dQi dK
                                      = +     +    − .
                                    dt dt  dt   dt  dt
     Передача теплоты телу осуществляется за счет потока тепла через его границу, то есть
                               dQ e
                                dt    ∂Ω
                                              ∫
                                    = n ⋅ qdS = ∇ ⋅ qdV ,
                                                   Ω
                                                           ∫
где q - поверхностная плотность потока тепла через границу тела.
      Умножая уравнение движения на вектор скорости, приходим к уравнению изменения
кинетической энергии материальной точки
                                        ρ d | v |2
                                                   −∇ ⋅(σ ⋅ v ) +tr(σ ⋅ ∇ v ) −ρF ⋅ v =0    (1)
                                        2 dt
где tr(A) – след тензора А.
       В интегральной форме уравнение (1) определяет баланс кинетической энергии среды в
области (V)
                dK d          ρ | v |2
                dt
                   =
                     dt   ∫
                          Ω
                                 2           ∫
                                            ∂Ω
                                                           ∫Ω
                                                                          ∫
                                       dV = p n ⋅ vdV + ρF⋅ vdV − tr( σ ⋅ ∇ v)dV .
                                                                          Ω

     Для безмоментной теории tr (σ ⋅ ∇ v) =tr (σ ⋅ ε ) , ε - тензор скоростей деформаций.
     Учитывая, что мощность работы внешних сил
                                    dA
                                           ∫              ∫
                                       = p n ⋅ vdV + ρF ⋅ vdV ,
                                    dt ∂Ω           Ω
уравнение баланса внутренней энергии замкнутой системы будет иметь вид
                          dU d
                           dt dt ∫
                             =     ρudV =∫(−∇ ⋅ q +tr (σ ⋅ ε ) +q i )dV ,
                                 Ω       Ω

здесь q - функция источника энергии за счет различных механизмов взаимодействия, отличных
       i

от работы сил и теплообмена.
      В дифференциальной форме уравнение баланса энергии
                                        du
                                    ρ      =−∇ ⋅ q +tr (σ ⋅ ε ) +q i .
                                        dt
     Для достаточно широкого класса жидкостей имеет место равенство
                                                     u =cV T ,                              (1)
где T - температура, cV - теплоемкость при постоянном объеме. Учитывая (1), приходим к
уравнению
                                         dT
                                   ρcV      =−∇ ⋅ q +tr(σ ⋅ ε) +q i
                                         dt
                     2.2. Взаимодействие с электромагнитными полями
     При движении электропроводной жидкости в электрическом и магнитном полях возникает
объемная сила электромагнитной природы, называемая также пандермоторной или силой Лоренца
[37]
                                                    1
                                            F =ρe E+ j×H ,
                                                    c

Страницы