Математическое моделирование и компьютерный эксперимент. Артемов М.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

dVdV
dt
d
ΩΩ
)Fσ(
v
ρ+⋅∇=ρ
∫∫
. (1)
В дифференциальной форме уравнение (1) имеет вид
Fσ
v
ρ+⋅∇=
dt
d
ρ . (2)
Уравнение (2) называется уравнением движения.
Если рассматривается многокомпонентная среда, то платность массовых сил
∑
=
=
N
i
ii
ρρ
1
FF ,
где
i
F
- плотность массовых сил, действующих на частицы
i
- го сорта.
2.1.3. Уравнение баланса момента количества движения
Кроме внешнего момента количества движения относительно выбранного полюса
v
x
ρ
×
материальная точка может иметь собственный или внутренний момент количества движения,
тогда уравнение баланса момента импульса вида имеет вид [42]
dVdSdVρρ
dt
d
ΩΩ
nn
Ω
∫∫∫
ρ+ρ×++×=+×
∂
)hFx()qpx()kvx(
,
где
n
q - плотность поверхностных силовых пар ,
h
- массовая плотность силовых пар.
Если ввести тензор моментных напряжений
mnq ⋅=
n
,
то для гладких полей напряжений и моментных напряжений, применяя преобразование Гаусса –
Остроградского, имеем
∫
∂
⋅+⋅×
Ω
dSn )mn) σ(x(
r
(
)
dV
Ω
∫
×⋅−⋅∇×+⋅∇= I σ ) σ (xm .
Здесь учтено, что
Ix
=
∇
- единичный тензор . Учитывая, что
0=ρ−⋅∇−ρ× )Fσ
v
(x
dt
d
уравнение баланса момента импульса принимает вид
0=ρ−×⋅+⋅∇−ρ
∫
dV
dt
d
Ω
)hI σ m
k
(
,
или в дифференциальной форме
0σm =−×⋅+⋅∇− hI
k
ρρ
dt
d
.
В безмоментной теории полагается, что
000
=
=
=
h,m,k
. Поэтому из уравнения баланса
момента импульса следует условие симметрии тензора напряжений
0
=
×
⋅
Iσ
1
.
2.14. Уравнение баланса энергии
Энергия всех форм движения тела называется полной энергией. Постулируется, что
изменение полной энергии происходит только за счет внешнего притока энергии обусловленного
работой сил, действующих на тело , передачей теплоты телу за счет теплообмена и внешнему
притоку энергии за счет различных механизмов взаимодействия, отличных от работы сил и
теплообмена
1
Здесь
mjki
kmij
eeeeg
r
r
r
r
×⋅σ=×⋅ Iσ 
                                                          dv
                                                 ∫ρ dt dV =∫(∇ ⋅σ +ρF )dV .
                                                     Ω               Ω
                                                                                        (1)

В дифференциальной форме уравнение (1) имеет вид
                                                         dv
                                                     ρ      =∇ ⋅σ +ρF .                 (2)
                                                         dt
Уравнение (2) называется уравнением движения.
         Если рассматривается многокомпонентная среда, то платность массовых сил
                                                                    N
                                                            ρF =∑ρF ,
                                                                    i =1
                                                                           i   i


где Fi - плотность массовых сил, действующих на частицы i -го сорта.
                    2.1.3. Уравнение баланса момента количества движения
       Кроме внешнего момента количества движения относительно выбранного полюса x ×ρv
материальная точка может иметь собственный или внутренний момент количества движения,
тогда уравнение баланса момента импульса вида имеет вид [42]
                       d
                          ∫
                       dt Ω                                ∫
                            ( x ×ρv +ρk )dV = (x ×p n +q n )dS + ( x ×ρF +ρh)dV ,
                                             ∂Ω                 Ω
                                                                                   ∫
где q n - плотность поверхностных силовых пар, h - массовая плотность силовых пар.
        Если ввести тензор моментных напряжений
                                         q n =n ⋅ m ,
то для гладких полей напряжений и моментных напряжений, применяя преобразование Гаусса –
Остроградского, имеем
                                     
                           ∫(x ×(n ⋅σ) +n ⋅m)dS =∫(∇ ⋅m+x ×(∇ ⋅σ) −σ⋅×I )dV .
                          ∂Ω                                    Ω

Здесь учтено, что ∇ ⊗ x =I - единичный тензор. Учитывая, что
                                                            dv
                                                 x ×(ρ         −∇ ⋅ σ −ρF ) =0
                                                            dt
уравнение баланса момента импульса принимает вид
                                  dk
                             Ω
                               (ρ
                                  dt         ∫
                                     −∇ ⋅m +σ⋅ ×I −ρh )dV =0 ,

или в дифференциальной форме
                                   dk
                                                 ρ
                                      −∇ ⋅ m +σ⋅×I −ρh =0 .
                                   dt
В безмоментной теории полагается, что k =0, m =0, h =0 . Поэтому из уравнения баланса
момента импульса следует условие симметрии тензора напряжений
                                        σ⋅ ×I =0 1.
                              2.14. Уравнение баланса энергии
     Энергия всех форм движения тела называется полной энергией. Постулируется, что
изменение полной энергии происходит только за счет внешнего притока энергии обусловленного
работой сил, действующих на тело, передачей теплоты телу за счет теплообмена и внешнему
притоку энергии за счет различных механизмов взаимодействия, отличных от работы сил и
теплообмена


                                      
1
    Здесь σ⋅ ×I =σij g kmei ⋅ ek e j ×em

Страницы