Математическое моделирование и компьютерный эксперимент. Артемов М.А - 35 стр.

отображением r0 множества ℜ на область Ω0 пространства E
                                                         3


                                            Ω0 ={r0 ( X ),              X ∈ℜ} .
Такую конфигурацию тела называют отсчетной. Отображение
                                       x 0 =r0 ( X ) .
определяет место точки X в конфигурации Ω0 (ℜ) . Так как это отображение обратимо
                                                               −1
                                         X =r0 ( x 0 ) ,
то движение можно определить соотношением
                                    x =r(r0 ( x 0 ), t ) =r~( x 0 , t ) .
                                           −1
                                                                                       (2)
      ~
Здесь r - отображение отсчетной конфигурации Ω0 (ℜ) тела на актуальную конфигурацию тела
Ω(ℜ, t ) . Часто полагают, что отсчетная конфигурация является актуальной конфигурацией в
некоторый момент времени t 0 , то есть
                                         x =~ r (x , t ) .
                                                     0              0   0

Деформация
      Изменение конфигурации тела называется деформацией. Следовательно, отображение ~  r
задает деформацию тела.
Способы описания движения
      Выделяют четыре способа описания движения материального тела: материальный,
отсчетный, пространственный и относительный.
Материальное описание
      При материальном описании рассматриваются непосредственно точки тела. Все параметры
системы рассматриваются как функции материальных точек (материальных координат X) и
времени t.
Отсчетное описание
      Введение отсчетной конфигурации позволяет перейти от переменных X , t к переменным
x 0 , t . Поэтому любая функция
                                                                           ~
                                    f ( X , t ) = f ( ~r −1 ( x 0 ), t ) = f ( x 0 , t ) .
Следует отметить, что
                                                      ~
                                  ∂ n f ( X , t ) ∂ n f (x 0 , t )
                                                 =                 , n =1,2,... .
                                      ∂t n             ∂t n
Лагранжево описание движения
        Лагранжево описание является частным случаем отсчетного описания, когда в качестве
отсчетной конфигурации выбирается реальная конфигурация тела в некоторый момент времени
t =t 0 . Параметры системы являются функциями пространственных координат материальных
точек в момент t =t0 и времени. Функции материальных координат ( X , t ) связаны с функциями
лагранжевых координат ( x 0 , t ) соотношениями
                                                                              ~
                                  f ( X , t ) = f ( ~r −1 (x 0 , t 0 ), t ) = f ( x 0 , t ) .
Пространственное описание движения
     При пространственном описании все параметры системы рассматриваются как функции
пространственных координат x и времени t . То есть при пространственном описании внимание
сосредоточено на актуальной конфигурации тела. В силу (1), любая функция
                              f ( X , t ) = f (r −1 ( x, t ), t ) = fˆ (x , t )                   .
                                                                                   x=r~( X ,t )
      Построить отображение актуальной конфигурации на любую отсчетную конфигурацию тела
(определить деформацию) на интервале времени T можно, если на указанном интервале известно
поле скоростей v (x , t ) . Константы интегрирования уравнения
                                                     dx
                                                        =v( x, t ) ,
                                                     dt