Математические методы в биологии. Артюхов В.Г - 23 стр.

UptoLike

Рубрика: 

y
x
_
= a + bx.
(18)
ȼ ɷɬɨɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɚɫɜɨɛɨɞɧɵɣ ɱɥɟɧ, ɚɩɚɪɚ-
ɦɟɬɪ b ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɧɚɤɥɨɧ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɨɫɹɦ ɩɪɹɦɨ-
ɭɝɨɥɶɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ. ȼ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɷɬɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɧɚɡɵɜɚɸɬ
ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ, ɜ ɛɢɨɦɟɬɪɢɢɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ.
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɜɵɪɚɠɚɸɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɭɸ ɫɜɹɡɶ
ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɟ, ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ (18) ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɵɜɚɬɶ ɬɚɤ:
y
x
_
= a
yx
+ b
yx
x ɢ = ax
y
_
xy
+ b
xy
y.
(19)
ɉɨ ɩɟɪɜɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɭɫɪɟɞɧɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢ ɢɡɦɟ-
ɧɟɧɢɢ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɏ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɦɟɪɵ, ɩɨ ɜɬɨɪɨɣɭɫɪɟɞɧɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɩɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɦɟɪɵ ɩɪɢɡɧɚɤɚ Y.
y
x
_
x
y
_
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɧɚɫɤɨɥɶɤɨ ɜ ɫɪɟɞɧɟɦ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
ɨɞɧɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɭ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɩɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɦɟɪɵ ɞɪɭɝɨɝɨ,
ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨ ɫɜɹɡɚɧɧɨɝɨ
ɫ Y ɩɪɢɡɧɚɤɚ X. ɗɬɨɬ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɩɨ
ɮɨɪɦɭɥɟ
b
yx
= r
xy
()
()
_
_
yy
xx
i
i
¦
¦
2
2
ɢɥɢ b
xy
= r
xy
()
()
_
_
xx
yy
i
i
¦
¦
2
2
.
(20)
ȿɫɥɢ ɠɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɟɧ, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɪɟɝɪɟɫ-
ɫɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
b
yx
=
()(
()
__
_
yyxx
xx
ii
i

¦
¦
2
)
ɢɥɢ b
xy
=
()(
()
__
_
yyxx
yy
ii
i

¦
¦
2
)
)
_
.
(21)
ɋɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ
ɋɪɚɜɧɢɜɚɹ ɮɨɪɦɭɥɵ (21) ɢ (16), ɜɢɞɢɦ: ɜ ɢɯ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɨɞɧɚ ɢ ɬɚ ɠɟ
ɜɟɥɢɱɢɧɚ , ɱɬɨ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬ ɧɚ ɧɚɥɢɱɢɟ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ
ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹɦɢ. ɗɬɚ ɫɜɹɡɶ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ = b
()(
_
yyxx
ii

¦
r
xy
2
yx
b
xy
, ɢɥɢ
r
xy
=
bb
yx xy
.
(20)
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɪɚɜɟɧ ɫɪɟɞɧɟɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɢɡ ɤɨɷɮɮɢ-
ɰɢɟɧɬɨɜ b
yx
ɢ b
xy
. Ɏɨɪɦɭɥɚ (20) ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ, ɜɨ-ɩɟɪɜɵɯ, ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɡɧɚɱɟ-
ɧɢɹɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ b
yx
ɢ b
xy
ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹ-
ɰɢɢ r
xy
, ɚɜɨ-ɜɬɨɪɵɯ, ɩɪɨɜɟɪɹɬɶ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɫɬɶ ɪɚɫɱɟɬɚ ɷɬɨɝɨ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ
ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɫɜɹɡɢ r
xy
ɦɟɠɞɭ ɜɚɪɶɢɪɭɸɳɢɦɢ ɩɪɢɡɧɚɤɚɦɢ ɏ ɢ Y.
23
                                                     _
                                                     y x = a + bx.                                              (18)

     � ���� ��������� �������� ��������� � – ��������� ����, � ����-
���� b ���������� ������ ����� ��������� �� ��������� � ���� �����-
�������� ���������. � ������������� ��������� ���� �������� ��������
������� �������������, � ��������� – ������������� ���������.
     ��������� ���������� ��������� �������� �������������� �����
�����������, ��������� ��������� (18) ������� ���������� ���:
                             _                               _
                             y x = ayx + byxx � x y = axy + bxyy.                                               (19)
                                                                                                            _
      �� ������ ������� ���������� ����������� �������� y x ��� ����-
                                                                                                                  _
����� �������� � �� ������� ����, �� ������ – ����������� �������� x y
��� ��������� �� ������� ���� �������� Y.

     ����������� ���������
     ����������� ��������� ����������, ��������� � ������� ��������
������ �������� � ���������� ��� ��������� �� ������� ���� �������,
������������� ���������� � Y �������� X. ���� ���������� ���������� ��
�������
                                                 _                                          _

           byx = rxy          � (y   i   � y) 2
                                                         ��� bxy = rxy    � (x     i   � x) 2
                                                                                                        .       (20)
                                                 _                                          _
                              � (x   i   � x) 2                           � (y     i   � y) 2
      ���� �� ����������� ���������� ����������, ����������� ������-
��� ���������� ��������� �������:
                                 _                   _                         _                        _

         byx =   � ( y � y) � ( x
                         i               i       � x)
                                                         ��� bxy =    � ( y � y) � ( x � x) .
                                                                           i                    i
                                                                                                                (21)
                                     _                                                  _

                    � ( x � x)   i
                                             2
                                                                         � ( y � y)
                                                                               i
                                                                                                    2




      ����� ����� �������������� ��������� � ����������
      ��������� ������� (21) � (16), �����: � �� ��������� ���� � �� ��
                     _               _
�������� � ( y i � y ) � ( xi � x ) , ��� ��������� �� ������� ����� ����� �����
������������. ��� ����� ���������� ���������� rxy2 = byx bxy, ���
                                      rxy= b yx b xy .
                                                                            (20)
     ����������� ���������� ����� ������� �������������� �� ������-
������� byx � bxy. ������� (20) ���������, ��-������, �� ��������� �����-
���� ������������� ��������� byx � bxy ���������� ����������� �������-
��� rxy, � ��-������, ��������� ������������ ������� ����� ����������
�������������� ����� rxy ����� ������������ ���������� � � Y.

                                                                 23