Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

точкам x
а
, x
b
, x
c
:
)]()(2)([2
)]()([
*
cba
ca
b
xfxfxf
xfxfx
xx
+−
−Δ
+=
6. Проверяем условие окончания поиска:
ε
<− )()(
*
m
xfxf
,
где x
m
– одна из точек x
а
, x
b
, x
c
, в которой значение целевой
функции максимально;
– если условие выполняется, то считается, что поиск экстрему-
ма заканчивается и экстремум найден в точке x
*
;
– иначе,
2
x
x
Δ
=Δ
и переходим к шагу 2, причем x
0
= x
*
.
Данная циклическая процедура будет выполняться до тех пор,
пока не будут выполнены условия на 6 шаге.
7.10. Метод квадратичной интерполяции
Метод квадратичной интерполяции используют для поиска точки
минимума х
*
непрерывной функции f(x), определенной на множестве
. Из области допустимых значений D выделяется под-
множество D
1
, в котором расположена точка экстремума х
*
, и аппрокси-
мируется функция f(x) (х принадлежит подмножеству D
1
) некоторой
сильно выпуклой функцией вида:
{
bxaxD ≤≤= :
}
32
2
1
)( axaxax +⋅+⋅=
ϕ
Далее аналитическим методом находится точка минимума x
4
функ-
ции
ϕ
(x) из необходимого условия существования экстремума
.02)('
241
=+⋅⋅= axax
ϕ
Отсюда
, (7.16)
)2/(
124
aax −=
которая тем ближе к точке х
*
, чем ближе функция
ϕ
(x) к f
0
(x) на подмно-
73 
        точкам xа, xb, xc:
                                      Δx[ f ( x a ) − f ( x c )]
                    x * = xb +
                                 2[ f ( x a ) − 2 f ( x b ) + f ( x c )]
     6. Проверяем условие окончания поиска:
                                f (x * ) − f (xm ) < ε ,

        где xm – одна из точек xа, xb, xc, в которой значение целевой
        функции максимально;
        – если условие выполняется, то считается, что поиск экстрему-
        ма заканчивается и экстремум найден в точке x*;
        – иначе, Δx = Δx 2 и переходим к шагу 2, причем x0 = x*.
        Данная циклическая процедура будет выполняться до тех пор,
        пока не будут выполнены условия на 6 шаге.


7.10. Метод квадратичной интерполяции

     Метод квадратичной интерполяции используют для поиска точки
минимума х* непрерывной функции f(x), определенной на множестве
D = { x : a ≤ x ≤ b} . Из области допустимых значений D выделяется под-
множество D1, в котором расположена точка экстремума х*, и аппрокси-
мируется функция f(x) (х принадлежит подмножеству D1) некоторой
сильно выпуклой функцией вида:

                             ϕ ( x) = a1 ⋅ x 2 + a2 ⋅ x + a3

     Далее аналитическим методом находится точка минимума x4 функ-
ции ϕ(x) из необходимого условия существования экстремума

                             ϕ ' ( x) = 2 ⋅ a1 ⋅ x4 + a2 = 0.
     Отсюда
                                  x4 = −a2 /(2a1 ) ,                       (7.16)

которая тем ближе к точке х*, чем ближе функция ϕ(x) к f0(x) на подмно-

                                                                              73

Страницы