Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

жестве D
1
.
Для нахождения множества D и коэффициентов a, b, c функции
ϕ
(x) необходимо подобрать вблизи предполагаемого минимума x
4
точки
x
1
, x
2
, x
3
, такие, что крайние ординаты больше средней ординаты, т.е. при
x
1
<x
2
<x
3
было справедливо неравенство:
).()()(
321
xfxfxf <>
По условию интерполяции значения аппроксимирующей параболы
ϕ
(x
i
) должны совпадать со значениями целевой функции f(x
i
),
ϕ
(x
i
) = f(x
i
),
i = 1,2,3. В результате получается система линейных уравнений, относи-
тельно неизвестных коэффициентов
(
)
:3,1=ia
i
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==+⋅+⋅
==+⋅+⋅
==+⋅+⋅
33332
2
31
22322
2
21
11312
2
11
)(
)(
)(
fxfaxaxa
fxfaxaxa
fxfaxaxa
Далее находятся неизвестные коэффициенты по методу Крамера:
c
fxx
fxx
fxx
a
c
fx
fx
fx
a
c
xf
xf
xf
a
Δ
=
Δ
=
Δ
=
33
2
3
22
2
2
11
2
1
3
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
33
22
11
1
;
1
1
1
;
1
1
1
, (7.17)
где
1
1
1
3
2
3
2
2
2
1
2
1
xx
xx
xx
c =Δ
.
С учетом соотношений (7.16) и (7.17) получается выражение для
определения точки x
4
непосредственно через x
i
, f
i
,(i=1,2,3):
])()()[(2
)()()(
312231123
3
2
1
2
22
2
3
2
11
2
2
2
3
6
5
4
fxxfxxfxx
fxxfxxfxx
x
x
x
⋅−+⋅−+⋅−⋅
⋅−+⋅−+⋅−
==
. (7.18)
Следует заметить, что в (7.18) знаменатель x
6
должен быть отличен
от нуля. Если точки x
1
, x
2
, x
3
, близки друг к другу, то это условие нару-
шается.
74 
жестве D1.
        Для нахождения множества D и коэффициентов a, b, c функции
ϕ(x) необходимо подобрать вблизи предполагаемого минимума x4 точки
x1, x2, x3, такие, что крайние ординаты больше средней ординаты, т.е. при
x1 f ( x 2 ) < f ( x 3 ).

       По условию интерполяции значения аппроксимирующей параболы
ϕ(xi) должны совпадать со значениями целевой функции f(xi), ϕ(xi) = f(xi),
i = 1,2,3. В результате получается система линейных уравнений, относи-
тельно неизвестных коэффициентов ai i = 1,3 :            (      )
                           ⎧ a1 ⋅ x12 + a 2 ⋅ x1 + a 3 = f ( x1 ) = f 1
                           ⎪
                           ⎨a1 ⋅ x 2 + a 2 ⋅ x 2 + a 3 = f ( x 2 ) = f 2
                                   2

                           ⎪a ⋅ x 2 + a ⋅ x + a = f (x ) = f
                           ⎩ 1 3         2     3     3         3       3


      Далее находятся неизвестные коэффициенты по методу Крамера:
                 f1   x1 1                 x12       f1 1             x12   x1   f1
                                                2                      2
                 f2   x2 1                 x    2    f2 1             x2    x2   f2
                                                2                      2
                 f3   x3 1                 x    3    f3 1             x3    x3   f3
          a1 =                  ; a2 =                       ; a3 =                   ,   (7.17)
                      Δc                            Δc                      Δc
                                          x12       x1 1
                                  Δc =    x22       x2 1
где                                                      .
                                          x32       x3 1

     С учетом соотношений (7.16) и (7.17) получается выражение для
определения точки x4 непосредственно через xi, fi,(i=1,2,3):

                 x5   ( x32 − x22 ) ⋅ f1 + ( x12 − x32 ) ⋅ f 2 + ( x22 − x12 ) ⋅ f 3
          x4 =      =
                 x6 2 ⋅ [( x3 − x2 ) ⋅ f1 + ( x1 − x3 ) ⋅ f 2 + ( x2 − x1 ) ⋅ f 3 ] .     (7.18)

      Следует заметить, что в (7.18) знаменатель x6 должен быть отличен
от нуля. Если точки x1, x2, x3, близки друг к другу, то это условие нару-
шается.
                                                                                             74

Страницы