Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

12
12
1
xx
ff
a
−
−
=
. (7.12)
3323132
12
1312
13
)())((
))((
)( fxfxxxxa
xx
xxff
fxP ==−−+
−
−−
+=
После несложных преобразований получим
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
=
12
12
13
13
23
2
1
xx
ff
xx
ff
xx
a
. (7.13)
Находим точку минимума полинома:
02)('
12
*
21
=−−+= xxxaaxP
или
2
1
2
12
*
22 a
a
a
xx
x −
+
=
. (7.14)
Алгоритм метода Пауэлла:
1. Вводим x
1
, приращение dx, погрешности ε
1
, ε
2
. f
1
= f(x
1
).
2. Вычисляем x
2
= x
1
+ dx, f
2
= f(x
2
), i = 2.
3. Проверяем условие f(x
1
) > f(x
i
)?
– если "да", то шаг удваиваем (dx = 2dx), x
3
= x
1
+ dx, f
3
= f(x
3
),
i = 3 и переходим на п.3;
– иначе, выбираем точку x
3
по другую сторону от x
1
: x
3
= x
1
− dx,
f
3
= f(x
3
) и переходим на п.4.
4. Поиск минимального значения функции и
соответствующего аргумента .
),,min(
321min
ffff =
))(),(),(min(arg
321min
xfxfxfx =
5. Вычисляем коэффициенты a
1
, a
2
по формулам (7.12), (7.13) и
точки x
*
по (7.14). f
4
= f(x
*
).
6. Проверяем условия окончания поиска экстремума:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<−
<−
2
*
min
14min
ε
ε
xx
ff
, (7.15)
Если условия (7.15) выполняются, то печать x
min
, f
min
и конец
поиска, иначе переходим на п.7.
71 
                                         f 2 − f1
                                  a1 =
                                         x 2 − x1 .                                        (7.12)

                  ( f 2 − f1 )( x3 − x1 )
P( x3 ) = f 1 +                           + a 2 ( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) = f ( x3 ) = f 3
                         x 2 − x1

После несложных преобразований получим
                               1       ⎛ f 3 − f1 f 2 − f1 ⎞
                    a2 =               ⎜                   ⎟
                            x3 − x 2   ⎜x −x − x −x ⎟.                                     (7.13)
                                       ⎝ 3      1   2    1 ⎠


Находим точку минимума полинома:

                   P ' ( x) = a1 + 2a 2 x * − x 2 − x1 = 0 или
                                       x 2 + x1   a
                              x* =              − 1 .                                      (7.14)
                                         2a 2    2a 2

Алгоритм метода Пауэлла:
1. Вводим x1, приращение dx, погрешности ε1, ε2. f1 = f(x1).
2. Вычисляем x2 = x1 + dx, f2 = f(x2), i = 2.
3. Проверяем условие f(x1) > f(xi)?
   – если "да", то шаг удваиваем (dx = 2dx), x3 = x1 + dx, f3 = f(x3),
   i = 3 и переходим на п.3;
   – иначе, выбираем точку x3 по другую сторону от x1: x3 = x1 − dx,
   f3 = f(x3) и переходим на п.4.
4. Поиск минимального значения функции f min = min( f 1 , f 2 , f 3 ) и
   соответствующего аргумента x min = arg min( f ( x1 ), f ( x 2 ), f ( x3 )) .
5. Вычисляем коэффициенты a1, a2 по формулам (7.12), (7.13) и
   точки x* по (7.14). f4 = f(x*).
6. Проверяем условия окончания поиска экстремума:
                                ⎧⎪ f min − f 4 < ε 1
                                 ⎨                   ,                                     (7.15)
                                 ⎪⎩ x min − x < ε 2
                                             *



   Если условия (7.15) выполняются, то печать xmin, fmin и конец
   поиска, иначе переходим на п.7.

                                                                                              71

Страницы