Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 28 стр.

                             2.4. Краевые задачи                                щим однородным граничным условиям (2.38). Искомое решение представля-
    Выше рассматривались задачи с начальными условиями, т.е. с условиями        ется в виде линейной комбинации базисных функций:
в одной (начальной) точке. На практике часто приходится решать задачи дру-                        y(x) = φ0(x) + a1φ1(x) + a2φ2(x) + ... + anφn(x).              (2.39)
гого типа, когда условия задаются при двух значениях независимой перемен-            Подставляя это выражение в уравнение (2.36), можно найти разность ме-
ной (на концах рассматриваемого отрезка). Такие задачи, называемые крае-        жду его левой и правой частями, которая называется невязкой. Она является
выми, получаются при решении уравнений высших порядков или систем               функцией переменной х и параметров a1, a2, ..., an и имеет вид:
уравнений.                                                                                        ψ (x, a1, a2, ..., an) = Y'' + p(x)Y' + q(x)Y - f(x).          (2.40)
    Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение второго                Коэффициенты a1, a2, ..., an стараются выбрать так, чтобы значение невяз-
порядка:                                                                        ки было минимальным. Способ определения этих коэффициентов и характе-
                              Y'' + p(x)Y' + q(x)Y = f(x).             (2.36)   ризует тот или иной приближенный метод.
    Краевая задача состоит в отыскании решения Y=Y(х) уравнения (2.36) на            В методе коллокаций выбираются n точек xi (i=1, 2, ..., n, xi ∈ [a, b]), назы-
отрезке [а, b], удовлетворяющего на концах отрезка условиям:                    ваемых точками коллокаций, невязки (2.40) в которых приравниваются нулю.
                             Y(a) = A, Y(b) = B.                       (2.37)   Получается система n линейных алгебраических уравнений относительно
    Граничные условия могут быть заданы не только в частном виде (2.37), но
                                                                                неизвестных a1, a2, ..., an. Решая данную систему, можно найти эти коэффици-
и в общем виде:
                                                                                енты, которые затем подставляются в решение (2.39).
                                 α1Y(a) + β1Y'(a) = A,
                                                                                      Метод наименьших квадратов основан на минимизации суммы квадра-
                                  α2Y(b) + β2Y'(b) = B.                (2.38)   тов невязок в заданной системе точек x1, x2, ..., xm. Из этого условия также
    Методы решения краевых задач довольно разнообразные - это и точные          получается система линейных алгебраических уравнений относительно a1, a2,
аналитические методы, и приближенные, и численные. Аналитические ме-            ..., an.
тоды изучаются в курсе дифференциальных уравнений. Они имеются лишь                  В основе метода Галеркина лежит требование ортогональности базисных
для решения узкого класса уравнений. В частности, хорошо развит этот аппа-
                                                                                функций φ0(x), φ1(x), ..., φn(x) к невязке ψ(x, a1, a2, ..., an), которое записывается
рат для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с
                                                                                в виде:
постоянными коэффициентами, которые широко используются в исследова-                                   b
нии различных физических процессов (например, в теории колебаний, дина-
                                                                                                       ∫ψ ( x, a ,K, a )φ ( x) = 0 ,
                                                                                                               1      n   i            i = 1, 2, K, n.
мике твердого тела и т. п.).                                                                           a

    Приближенные методы разрабатывались еще задолго до появления вы-               Из этих условий также получается система линейных алгебраических
числительных машин. Однако многие из них и до сих пор не утратили своего        уравнений относительно коэффициентов линейного соотношения (2.39).
значения. Это методы коллокаций, наименьших квадратов и другие, основан-           Аналогично строятся некоторые другие приближенные методы. Все они
ные на минимизации невязок уравнений. Весьма эффективными являются              сводятся к построению системы линейных алгебраических уравнений, из ко-
также метод Галеркина и его модификации. Рассмотрим сущность прибли-            торой, если существует ее решение, находятся неизвестные коэффициенты.
женных методов.                                                                 Найденные коэффициенты затем используются для построения решения как
    Для отыскания приближенного решения уравнения (2.36) с граничными           линейной комбинации базисных функций (2.39).
условиями (2.38) выбирается некоторая линейно независимая (базисная) сис-
тема дважды дифференцируемых функций φ0(x), φ1(x), ..., φn(x). При этом φ0(x)
удовлетворяет граничным условиям (2.37), а φ1(x), ..., φn(x) - соответствую-


                                                                          55    56