Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 30 стр.

                                 y 1 − Y (1, α 0 ) .                  (2.45)      Ниже приведена блок-схема метода стрельбы (рис.17), где задана система
                         Δα =
                                ∂ Y (1, α 0 ) / ∂ α                            уравнений вида
    Производную в знаменателе этого выражения можно найти численно:                                          ⎧ dZ
                                                                                                                    = f ( x, Y , Z )                                (2.49)
                                                                                                             ⎪⎪ dx
                         ∂Y (1,α 0 ) Y (1,α 0 + δα ) − Y (1,α 0 ) .  (2.46)                                   ⎨
                                    ≈                                                                         ⎪ dY = Z
                            ∂α                   δα                                                           ⎩⎪ dx
Здесь δα - малое приращение α .                                                с граничными условиями:
    Для вычисления правой части нужно решить задачу Коши при α =α0+δα, в                              Y(0) = Y0;    Z(0) =tgα =tgL.
результате чего найдем значение Y(1, α0 + δα ). Вычисляя затем по формуле          Причём при х=1 значения сеточной функции Y1(1) и Z1(1) лежат по раз-
поправку Δα, находим следующее приближение параметра α : α1 = α0 + Δα и        ные стороны от второго граничного условия, Y1, Z1 - конечные значения се-
т. д. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока очередное        точных функций.
значение поправки Δα по абсолютной величине не станет меньшим заданного                                         Начало
малого числа ε .
    Методы стрельбы могут также использоваться для решения систем диф-                                          ввод a,
                                                                                                                  b, ε
ференциальных уравнений. В этом случае краевая задача (а не задача Коши)
может возникнуть в силу того, что значения одной части искомых функций
                                                                                                            t := (x-a)/(b-a)
заданы при одном значении независимой переменной (например, при x=0), а
другой - при другом (например, x=1). Тогда “пристрелка” проводится по не-                                  ввод начальных
известным значениям искомых функций при x=0 до тех пор, пока не будут                                      условий Y0, Z01
удовлетворяться соответствующие граничные условия при x=1.
    Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка                                                        L1 := π/100;
                                                                                                             YY0 := Y0
                                  Y' = f1 (x, Y, Z),
                                  Z' = f2 (x, Y, Z)                  (2.47)                              Z0 := sin(L1)/cos(L1)         Решаем задачу Коши для
    Граничные условия заданы в виде                                                                                                    системы (2.49) в процедуре
                               Y (0) = y0, Z (1) = z01.              (2.48)                               KOSHI(Y0, Z0,Y1,Z1)
                                                                                                                                       Подбор угла L, при котором
    Процесс решения этой краевой задачи методом стрельбы состоит в сле-                                                                выполняется условие (2.48)

дующем. Выбирается некоторое α, аппроксимирующее значение Z(0). Реша-                                    L0 := L1; Y11 := Y1;
                                                                                                               Z11:=Z1;
ется задача Коши для системы с начальными условиями Y(0) = y0, Z(0) =tgα.                             L1 := L0+π/200;Y0 := YY0;
В результате решения при x=1 получается некоторое значение Z (1, α ) ≠ z 1 .                             Z0 := sin(L1)/cos(L2)

Если разность между этими величинами невелика, то найденное решение за-
                                                                                                          KOSHI(Y0, Z0,Y1,Z1)
дачи Коши принимается за искомое решение краевой задачи. В противном
случае находится уточненное значение α и процесс повторяется.                                   нет
                                                                                                           (Y1-YY0)*(Z1-Z01)<0
   Таким образом, метод стрельбы может быть также использован как для
                                                                                                                        да
решения краевых задач для уравнений высших порядков, так и для систем
уравнений.                                                                                                          1


                                                                         59    60