ВУЗ:
Составители:
61
2.4.2. Метод конечных разностей
Достоинство этих методов состоит в том, что они сводят решение краевой
задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраиче-
ских уравнений относительно значений искомой функции на заданном мно-
жестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в диф-
ференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.
Рассмотрим сущность такого метода решения для дифференциального
ур
авнения второго порядка (2.41) при заданных граничных условиях (2.42).
Разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей точками x
i
=i
⋅
h (i=0, 1,..., n-1).
Решение краевой задачи (2.41) сведем к вычислению значений сеточной
функции у
i
в узлах x
i
. Для этого напишем уравнение (2.41) для внутренних
узлов:
1,...,2,1)),(),(,()(
−
=
′
=
′
′
nixYxYxfxY
iiii
(2.50)
1
Y11 = Y1;Z11 = Z1
L2 := (L0+L1)/2;
YY0 := Y0;
Z0 := sin(L2)/cos(L2)
KOSHI(Y0, Z0,Y1,Z1)
Y1*Y11<0
L0 :=L2
нет
да
L1 :=L2
|L1-L0|
≤
ε
да
Печать ‘Решение
краевой задачи
Y=’, Y1,’Z=’,Z1
Конец
нет
Поиск
α
∗
методом
стрельбы
Выбор интервала,
содержащего α
∗
Рис.17. Блок-схема метода стрельбы.
62
Заменим производные, входящие в эти соотношения, их конечно-
разностными аппроксимациями:
.
2
)(,
2
)(
2
1111
h
yyy
xY
h
yy
xY
iii
i
ii
i
−+−+
+
−
≈
′′
−
≈
′
(2.51)
Подставляя эти выражения в (2.50), получаем систему разностных уравне-
ний:
,1,...,2,1,0),,,(
11
−==ϕ
+−
niyyyx
iiii
(2.52)
являющуюся системой n
-1 алгебраических уравнений относительно значений
сеточной функции y
1
, y
2
,…, y
n-1
. Входящие в данную систему y
0
и y
n
выбира-
ются из граничных условий, если они задаются непосредственно.
На практике часто граничные условия задаются в более общем виде:
α
1
Y(0) +
β
1
Y'(0) = A,
α
2
Y(1) +
β
2
Y'(1) = B. (2.53)
В этом случае граничные условия также должны быть представлены в
разностном виде путем аппроксимации производных Y’(0) и Y’(1) с помощью
конечно-разностных соотношений. Если использовать односторонние разно-
сти, при которых производные аппроксимируются с первым порядком точно-
сти, то разностные граничные условия примут вид:
.
,
1
22
01
101
B
h
yy
y
A
h
yy
y
nn
n
=
−
+
=
−
+
−
βα
βα
Из этих соотношений находятся значения y
0
, y
n
.
Однако, как правило, предпочтительнее аппроксимировать производные,
входящие в (2.53), со вторым порядком точности с помощью центральных
разностей:
.
2
)1(,
2
)0(
111
h
yy
Y
h
yy
Y
nni −+−
−
≈
′
−
≈
′
В эти выражения входят значения сеточной функции y
-1
и y
n+1
в так назы-
ваемых фиктивных узлах х
-1
= -h, и х
n+1
= 1+h, лежащих вне рассматриваемо-
го отрезка. В этих узлах искомая функция также должна быть определена.
Количество неизвестных значений сеточной функции при этом увеличивается
на два. Для замыкания системы привлекают еще два разностных уравнения
(2.52) - при i = 0 и i = n.
1 Заменим производные, входящие в эти соотношения, их конечно-
Поиск α ∗ методом
стрельбы разностными аппроксимациями:
Y11 = Y1;Z11 = Z1 y − yi −1 y − 2 yi + yi −1
L2 := (L0+L1)/2; Y ′( xi ) ≈ i +1 , Y ′′( xi ) ≈ i +1 . (2.51)
YY0 := Y0; 2h h2
Z0 := sin(L2)/cos(L2) Подставляя эти выражения в (2.50), получаем систему разностных уравне-
ний:
KOSHI(Y0, Z0,Y1,Z1)
Выбор интервала,
ϕ( xi , y i −1 , yi , yi +1 ) = 0, i = 1,2,..., n − 1, (2.52)
содержащего α ∗ являющуюся системой n-1 алгебраических уравнений относительно значений
нет
Y1*Y11<0 сеточной функции y1, y2, , yn-1 . Входящие в данную систему y0 и yn выбира-
да
L0 :=L2 ются из граничных условий, если они задаются непосредственно.
L1 :=L2 На практике часто граничные условия задаются в более общем виде:
нет
α1Y(0) + β1Y'(0) = A,
|L1-L0| ≤ ε α2Y(1) + β2Y'(1) = B. (2.53)
да В этом случае граничные условия также должны быть представлены в
Печать Решение разностном виде путем аппроксимации производных Y(0) и Y(1) с помощью
краевой задачи
Y=, Y1,Z=,Z1 конечно-разностных соотношений. Если использовать односторонние разно-
сти, при которых производные аппроксимируются с первым порядком точно-
Конец сти, то разностные граничные условия примут вид:
y −y
α1 y0 + β1 1 0 = A,
Рис.17. Блок-схема метода стрельбы. h
yn − yn−1
2.4.2. Метод конечных разностей α 2 yn + β 2 = B.
Достоинство этих методов состоит в том, что они сводят решение краевой h
задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраиче- Из этих соотношений находятся значения y0, yn .
ских уравнений относительно значений искомой функции на заданном мно- Однако, как правило, предпочтительнее аппроксимировать производные,
жестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в диф- входящие в (2.53), со вторым порядком точности с помощью центральных
ференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями. разностей:
Рассмотрим сущность такого метода решения для дифференциального y − y−1 y − yn−1
Y ′(0) ≈ i , Y ′(1) ≈ n+1 .
уравнения второго порядка (2.41) при заданных граничных условиях (2.42). 2h 2h
Разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей точками xi=i⋅h (i=0, 1,..., n-1). В эти выражения входят значения сеточной функции y-1 и yn+1 в так назы-
Решение краевой задачи (2.41) сведем к вычислению значений сеточной ваемых фиктивных узлах х-1 = -h, и хn+1 = 1+h, лежащих вне рассматриваемо-
функции уi в узлах xi. Для этого напишем уравнение (2.41) для внутренних го отрезка. В этих узлах искомая функция также должна быть определена.
узлов: Количество неизвестных значений сеточной функции при этом увеличивается
Y ′′( xi ) = f ( xi , Y ( xi ), Y ′( xi )), i = 1, 2,..., n − 1 (2.50) на два. Для замыкания системы привлекают еще два разностных уравнения
(2.52) - при i = 0 и i = n.
61 62
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
