ВУЗ:
Составители:
65
3. Методы решения дифференциальных уравнений
в частных производных
Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких
переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать част-
ные производные искомых функций. Они называются уравнениями с част-
ными производными.
Многие задачи механики сплошных сред сводятся к решению дифферен-
циальных уравнений с частными производными. Здесь в качестве искомых
функций обычно служат плотность, те
мпература, напряжение и другие, аргу-
ментами которых являются координаты рассматриваемой точки пространст-
ва, а также время.
Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными
уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если ре-
шение ищется в ограниченной области, то задаются также условия на её гра-
нице, которые называются граничными (краевыми) условиями. Тогда задача
называется кра
евой задачей для уравнений с частными производными.
Если одной из независимых переменных является время (t), то задаются
значения искомых функций в начальный момент времени t=0, они называют-
ся начальными условиями. Задача, которая состоит в решении дифференци-
ального уравнения в частных производных при заданных начальных условиях
– это задача Коши. Пр
и этом задача решается в неограниченном пространст-
ве, и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых
ставятся одновременно граничные и начальные условия называются неста-
ционарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающееся при этом
решение меняется с течением времени.
Здесь мы будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи, то
есть задачи, решение которых существуе
т и единственно в некотором классе
начальных и граничных условий.
Рассмотрим достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второ-
го порядков, линейных относительно производных. В случае двух независи-
мых переменных x и y:
gfu
y
u
e
x
u
d
y
u
c
yx
u
b
x
u
a =+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
2
22
2
2
2
, (3.1)
где u(x,y) – искомая функция; a, b, c, d, e, f, g – коэффициенты, которые могут
зависеть от x, y и от u. В зависимости от этого уравнение (3.1) может быть:
66
a) уравнением второго порядка в частных производных с постоянными
коэффициентами;
b)
линейным, если правая часть уравнения линейно зависит от u, а коэф-
фициенты зависят только от х, у;
c)
квазилинейным, если коэффициенты зависят от u.
Различают разные виды уравнений в зависимости от соотношения между
коэффициентами:
1)
При
0
=
=
=
=
=
fcdba
,
0
≠
d
,
0
≠
e
получается уравнение переноса:
g
y
u
p
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
,
d
e
p =
(3.2)
Если в уравнении (3.2) одной из независимых переменных является время, то
это уравнение называется эволюционным.
2)
Если хотя бы один из коэффициентов
0,,
≠
cba
,то уравнение (3.1) явля-
ется уравнением второго порядка. В этом случае в зависимости от дискрими-
нанта
acbD 44
2
−=
оно может принадлежать к одному из трёх типов:
a)
гиперболическому (D > 0);
b)
параболическому (D = 0);
c)
эллиптическому (D < 0).
Приведем примеры наиболее распространенных уравнений в частных
производных.
Волновое (гиперболическое) уравнение:
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
.
Уравнение теплопроводности (параболическое):
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
,
где а > 0, c=1, g=0, b=0,D=0.
Уравнение Лапласа (эллиптическое):
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
,
где D < 0, a=1, b=0, c=1.
Уравнение Пуассона
g
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
.
Среди численных методов решения дифференциальных уравнений в част-
ных производных наиболее распространёнными являются разностные мето-
ды. Они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматривае-
3. Методы решения дифференциальных уравнений a) уравнением второго порядка в частных производных с постоянными
в частных производных коэффициентами;
Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких b) линейным, если правая часть уравнения линейно зависит от u, а коэф-
переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать част- фициенты зависят только от х, у;
ные производные искомых функций. Они называются уравнениями с част- c) квазилинейным, если коэффициенты зависят от u.
ными производными. Различают разные виды уравнений в зависимости от соотношения между
Многие задачи механики сплошных сред сводятся к решению дифферен- коэффициентами:
циальных уравнений с частными производными. Здесь в качестве искомых 1) При a =b = d =c = f =0, d ≠ 0 , e ≠ 0 получается уравнение переноса:
функций обычно служат плотность, температура, напряжение и другие, аргу-
∂u ∂u e
ментами которых являются координаты рассматриваемой точки пространст- + p = g , p= (3.2)
∂x ∂y d
ва, а также время.
Если в уравнении (3.2) одной из независимых переменных является время, то
Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными
это уравнение называется эволюционным.
уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если ре-
2) Если хотя бы один из коэффициентов a, b, c ≠ 0 ,то уравнение (3.1) явля-
шение ищется в ограниченной области, то задаются также условия на её гра-
нице, которые называются граничными (краевыми) условиями. Тогда задача ется уравнением второго порядка. В этом случае в зависимости от дискрими-
называется краевой задачей для уравнений с частными производными. нанта D = 4b2 − 4ac оно может принадлежать к одному из трёх типов:
Если одной из независимых переменных является время (t), то задаются a) гиперболическому (D > 0);
значения искомых функций в начальный момент времени t=0, они называют- b) параболическому (D = 0);
ся начальными условиями. Задача, которая состоит в решении дифференци- c) эллиптическому (D < 0).
ального уравнения в частных производных при заданных начальных условиях Приведем примеры наиболее распространенных уравнений в частных
это задача Коши. При этом задача решается в неограниченном пространст- производных.
ве, и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых
Волновое (гиперболическое) уравнение: ∂ 2u ∂ 2u .
= a2
ставятся одновременно граничные и начальные условия называются неста- ∂t 2
∂x 2
ционарными (или смешанными) краевыми задачами. Получающееся при этом ∂u ∂ 2u
решение меняется с течением времени. Уравнение теплопроводности (параболическое): =a ,
∂t ∂x 2
Здесь мы будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи, то
где а > 0, c=1, g=0, b=0,D=0.
есть задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе
Уравнение Лапласа (эллиптическое): ∂ 2u ∂ 2u
начальных и граничных условий. + = 0,
∂x 2 ∂y 2
Рассмотрим достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второ-
го порядков, линейных относительно производных. В случае двух независи- где D < 0, a=1, b=0, c=1.
мых переменных x и y: ∂ 2u ∂ 2u
Уравнение Пуассона + =g.
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂x 2 ∂y 2
a + 2b +c + d +e + fu = g , (3.1)
∂x 2
∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y Среди численных методов решения дифференциальных уравнений в част-
где u(x,y) искомая функция; a, b, c, d, e, f, g коэффициенты, которые могут ных производных наиболее распространёнными являются разностные мето-
зависеть от x, y и от u. В зависимости от этого уравнение (3.1) может быть: ды. Они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматривае-
65 66
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
