ВУЗ:
Составители:
67
мой области. Значения производных, начальные и граничные условия выра-
жаются через значения искомой функции в узлах сетки. В результате чего
получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схе-
мой. Решая систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточной
функции, которые приблизительно считаются равными значениям искомой
функции.
3.1. Построение разностных схем
Пусть задана прямоугольная область G с границей Г, которая определена
следующим образом: G={x, y:
bxa ≤≤
;
dyc
≤
≤
}, (рис. 18).
При этом h может не быть равным
τ
. Стороны прямоугольника делятся на
элементарные отрезки:
x
i
=a+i
.
h ,(i=0,1,…,n);
y
j
=c+j
.
τ
, (j=0,1,…,m).
Через эти точки проводятся два семейства прямых x=const и y=const, ко-
торые образуют сетку с прямоугольной ячейкой. Каждый узел сетки (i, j) оп-
ределяется координатами (x
i
, y
j
).
Аналогично можно ввести сетки для многомерных областей, которые со-
держат более двух измерений.
На рис. 19 показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда
для трёхмерной области.
Г
d
c
ab
}h2
}
(i, j)
τ
h
Рис. 18. Прямоугольная сетка
х
y
68
Иногда граничные точки области сложной формы не являются узлами
сетки. В этом случае либо вводятся дополнительные узлы на пересечении
координатных линий с границей, либо границу приближённо заменяют лома-
ной, проходящей через ближайшие к границе узлы. И на эту ломаную пере-
носятся граничные условия.
Иногда сложные криволинейные области с помощью перехода к не
зави-
симым переменным удаётся свести к простейшему виду.
Например, криволинейную область G можно привести к единичному
квадрату G’ с помощью введения новых переменных
η
ξ
,
вместо x, y (рис.
20) с помощью соотношений:
)()(
)(
12
1
yy
yx
ϕϕ
ϕ
ξ
−
−
=
,
10
≤
≤
ξ
,
)()(
)(
12
1
xx
xy
ψψ
ψ
η
−
−
=
,
10
≤
≤
η
.
Рис. 20. Преобразование криволинейной области
y
x
G
y =
ψ
1
(x)
y =
ψ
2
(x)
x =
ϕ
1
(y)
x =
ϕ
2
(y)
1
η
ξ
0
G ’
1
i, j, k+1
i+1, j, k
x
t
y
i, j, k
i+1, j+1, k
Рис.19. Элемент трехмерной сетки
t
мой области. Значения производных, начальные и граничные условия выра-
жаются через значения искомой функции в узлах сетки. В результате чего
получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схе- i, j, k+1
мой. Решая систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточной y
функции, которые приблизительно считаются равными значениям искомой
функции. i+1, j+1, k
3.1. Построение разностных схем
i, j, k i+1, j, k x
Пусть задана прямоугольная область G с границей Г, которая определена Рис.19. Элемент трехмерной сетки
следующим образом: G={x, y: a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d }, (рис. 18). Иногда граничные точки области сложной формы не являются узлами
сетки. В этом случае либо вводятся дополнительные узлы на пересечении
координатных линий с границей, либо границу приближённо заменяют лома-
y
ной, проходящей через ближайшие к границе узлы. И на эту ломаную пере-
Г носятся граничные условия.
d
Иногда сложные криволинейные области с помощью перехода к незави-
τ
}h2 симым переменным удаётся свести к простейшему виду.
(i, j)
Например, криволинейную область G можно привести к единичному
квадрату G с помощью введения новых переменных ξ , η вместо x, y (рис.
20) с помощью соотношений:
c x − ϕ1 ( y )
ξ= , 0 ≤ ξ ≤ 1,
a b ϕ 2 ( y) − ϕ1 ( y)
}
х
h y −ψ1 (x)
Рис. 18. Прямоугольная сетка η= , 0 ≤ η ≤ 1.
ψ 2 (x) −ψ1 (x)
При этом h может не быть равным τ. Стороны прямоугольника делятся на
элементарные отрезки: η
y
xi=a+i .h ,(i=0,1, ,n);
y =ψ2(x)
yj=c+j .τ , (j=0,1, ,m).
Через эти точки проводятся два семейства прямых x=const и y=const, ко-
1
x =ϕ2(y)
x =ϕ1(y)
торые образуют сетку с прямоугольной ячейкой. Каждый узел сетки (i, j) оп-
ределяется координатами (xi, yj). G
Аналогично можно ввести сетки для многомерных областей, которые со- G
держат более двух измерений.
На рис. 19 показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда y =ψ1(x)
для трёхмерной области. 0
x 1 ξ
Рис. 20. Преобразование криволинейной области
67 68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
