Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 36 стр.

соответствующее значение ui j на слое j (j=0, m-1). Такие схемы называются                                                                  3.2. Уравнения первого порядка
явными.                                                                                                                  Линейное уравнение переноса описывает скорость переноса частиц в сре-
    Для начала счёта необходимо знать решение на начальном слое. Оно оп-                                              дах, распространение возмущений и тому подобное.
ределяется начальным условием (3.3), которое запишется в виде:                                                           Пусть искомая функция U зависит от времени t и одной переменной x, то-
                            ui0=ϕ(xi)      i=1,2, , n-1              (3.8)                                           гда уравнение переноса можно записать в виде:
    В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (3.6) содержит на                                                                     ∂U      ∂U
                                                                                                                                                   +a      = f ( x, t ) ,                   (3.9)
каждом новом слое значения сеточной функции сразу в трёх узлах. Поэтому                                                                         ∂t      ∂x
нельзя сразу определить эти значения через известное решение на предыду-                                              где а>0 - скорость переноса, которую можно считать постоянной и положи-
щем слое. Такие схемы называются неявными. При этом разностная схема                                                  тельной, что соответствует переносу слева направо в положительном направ-
(3.6) состоит из линейных трёхточечных уравнений, то есть каждое уравнение                                            лении оси х.
содержит неизвестную функцию в трёх узлах данного слоя. Такие системы                                                    Расчётная область при решении (3.9) может быть как бесконечной, так и
линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей могут быть решены мето-                                                ограниченной.
дом прогонки. В результате чего будет найдена сеточная функция в узлах.                                                  Для бесконечной области определения, задавая начальные условия при
    Заметим, что в рассматриваемом примере мы получаем двухслойные схе-                                               t=0:
мы, где в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух                                                                             U(x, 0)= ϕ(х),                           (3.10)
слоёв – нижнего, на котором решение уже найдено, и верхнего, в узлах кото-                                            получаем задачу Коши для полуплоскости { t ≥ 0, − ∞ ≤ x ≤ ∞ }.
рого решение ищется.                                                                                                     На практике чаще приходится решать уравнения переноса в некоторой ог-
    При построении разностных схем можно использовать и другие шаблоны:                                               раниченной области G = {0 ≤ t ≤ T , 0 ≤ x ≤ 1} . В этом случае начальные
                                    ∂ u u i j +1 − u i j −1 ;
             j        j
1)   ∂ u u i +1 − u i −1 ;                                                                                            условия при t=0 задаются на отрезке x∈[0,1]; граничные условия нужно за-
        ≈                              ≈
     ∂x        2h                   ∂y          2h                                                                    дать при х=0, т.е. на отрезке t∈[0,T]:
               j                  j
2)   ∂ 2 u u i −1 − 2 u i j + u i +1 ; ∂ 2 u u i j +1 − 2 u i j + u i j −1 ;                                                                           U(0, t)= ψ(t).                    (3.11)
          ≈                                 ≈
     ∂x 2            h2                ∂y 2              h2                                                              Таким образом, задача состоит в решении уравнения (3.9) с начальными
     ∂ 4 u u i − 2 − 4u i −1 + 6u i − 4u i +1 + u i + 2 ; ∂ 4 u u ij + 2 − 4u ij +1 + 6u ij − 4u ij −1 + u ij − 2 ;
              j          j         j      j        j
                                                                                                                      условиями (3.10) и граничными условиями (3.11) в ограниченной области
3)        ≈                                                    ≈
     ∂x 4                       h4                        ∂y 4                         h4                             G = {0 ≤ t ≤ T , 0 ≤ x ≤ 1} . При f(x, t)=0 имеем:
     ∂ 2u  u j +1 − u i j−+11 − u i j+−11 + u i j−−11 .                                                                                               ∂U       ∂U .                          (3.12)
4)        ≈ i +1                                                                                                                                          = −a
     ∂x∂y                   4h 2                                                                                                                       ∂t      ∂x
                                                                                                                          Решение уравнения (3.12) имеет вид:
   Практика использования численных методов для решения инженерных
задач на ЭВМ показывает, что применение той или иной разностной схемы,                                                                                   U=H⋅(x-at),                         (3.13)
даже если она исследована теоретически, требует её тщательной проверки                                                где Н- произвольная дифференцируемая функция.
при решении конкретной задачи. Для этого проводят вычислительные экспе-                                                   Решение (3.13) называется бегущей волной со скоростью а. Это решение
рименты, состоящие в расчётах с разными значениями шагов при различных                                                постоянно вдоль каждой прямой x-at=const.
исходных данных.                                                                                                          Рассмотрим разностные схемы для решения задачи (3.9), (3.10), (3.11). По-
                                                                                                                      строим в области G равномерную прямоугольную сетку с помощью прямых
                                                                                                                      x=i⋅h (i=0,1, ,n), t=j⋅τ (j=0,1, ,m).

                                                                                                          71          72