ВУЗ:
Составители:
69
В этом случае к новым переменным нужно преобразовать и дифференци-
альные уравнения, а также начальные и граничные условия.
На практике приходится решать задачи в криволинейных системах коор-
динат: полярной, цилиндрической, сферической. Например, если расчётную
область удобно задавать в полярных координатах (r
,
ϕ
), то в этой области
сетка вводится с шагами
Δ
r и
Δϕ
по радиус-вектору и полярному углу.
Иногда и в простой расчётной области вводят неравномерную сетку. В ча-
стности, в ряде случаев требуется проводить сгущение узлов для повышения
точности расчёта в некоторых частях области G. Области сгущения узлов
обычно известны или определяются в процессе решения задачи (например, в
зависимости от градиентов искомых фун
кций).
Для построения разностной схемы, как и в случае краевой задачи с обык-
новенными дифференциальными уравнениями, частные производные в урав-
нении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторым шаб-
лонам.
Рассмотрим некоторые примеры построения разностных схем для реше-
ния уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных ус-
ловиях. Запишем смешанную краевую зад
ачу в виде:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
===
>>≤≤
∂
∂
=
∂
∂
)(),1();(),0();()0,(
0;0;10;
21
2
2
ttUttUxxU
atx
x
U
a
t
U
ψψϕ
(3.3)
где
ϕ(
x) - начальное распределение температуры U при t=0;
ψ
1
(t),
ψ
2
(t) – распределение температуры на концах отрезка x=[0,1] в любой
момент времени t.
Начальные и граничные условия должны быть согласованы, то есть:
⎩
⎨
⎧
==
==
)0()1()0,1(
)0()0()0,0(
2
1
ψϕ
ψϕ
U
U
(3.4)
Введём равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных ли-
ний:
x
i
=i
.
h , (i=0, 1,…, n),
t
j
=j
.
τ
, (j=0,1,…,m),
где h и
τ
- шаги по сетке в направлении осей x и t.
Обозначим U
i
j
= u(x
i
, y
j
) – значения искомой функции в узлах сетки. U
i
j
заменим соответствующими значениями сеточной функции, которые удовле-
творяют шаблону, представленному на рис. 21.
Заменим частные производные в системе уравнений (3.3) по шаблону:
70
τ
j
i
j
i
uu
t
u −
≈
∂
∂
+1
,
2
11
2
2
2
h
uuu
x
u
j
i
j
i
j
i −+
+−
≈
∂
∂
.
Получим разностную схему:
2
11
1
2
h
uuu
a
uu
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i −+
+
+−
⋅=
−
τ
, (3.5)
i=1,…,n-1, j=0,…,m-1.
Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные
схемы. Например, если воспользоваться шаблоном, представленным на рис.
22, то для системы (3.3) получим следующую разностную схему:
2
1
1
11
1
1
2
h
uuu
a
uu
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
+
+
++
−
+
+−
⋅=
τ
−
, (3.6)
i=1,…,n-1, j=0,…,m-1.
Из системы алгебраических уравнений (3.5) или (3.6) определяют значе-
ния сеточной функции во внутренних узлах.
Значения в граничных узлах находятся из граничных условий:
u
0
j
=
ψ
1
(t
j
) u
n
j
=
ψ
2
(t
j
) (3.7)
Совокупность узлов при t=сonst называется слоем. Схема (3.5) позволяет
последовательно находить значения u
i
j+1
(i=1…n-1) на (j+1)-ом слое через
Рис. 21
Рис. 22
В этом случае к новым переменным нужно преобразовать и дифференци- ∂u u ij +1 − u ij ,
≈
альные уравнения, а также начальные и граничные условия. ∂t τ
На практике приходится решать задачи в криволинейных системах коор- ∂ 2u ui j+1 − 2ui j + ui j−1 .
динат: полярной, цилиндрической, сферической. Например, если расчётную ≈
∂x 2 h2
область удобно задавать в полярных координатах (r, ϕ), то в этой области Получим разностную схему:
сетка вводится с шагами Δr и Δϕ по радиус-вектору и полярному углу.
u i j +1 − u i ju i j+1 − 2u i j + u ij−1 ,
Иногда и в простой расчётной области вводят неравномерную сетку. В ча- = a⋅ (3.5)
τ h2
стности, в ряде случаев требуется проводить сгущение узлов для повышения
i=1, ,n-1, j=0, ,m-1.
точности расчёта в некоторых частях области G. Области сгущения узлов
обычно известны или определяются в процессе решения задачи (например, в
зависимости от градиентов искомых функций).
Для построения разностной схемы, как и в случае краевой задачи с обык-
новенными дифференциальными уравнениями, частные производные в урав-
нении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторым шаб-
лонам. Рис. 21
Рассмотрим некоторые примеры построения разностных схем для реше-
Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные
ния уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных ус-
схемы. Например, если воспользоваться шаблоном, представленным на рис.
ловиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде:
22, то для системы (3.3) получим следующую разностную схему:
⎧ ∂U ∂ 2U
⎪ =a 2 ; 0 ≤ x ≤ 1; t > 0; a > 0 (3.3)
⎨ ∂t ∂x
⎪⎩ U ( x ,0 ) = ϕ ( x ); U ( 0, t ) = ψ 1 (t ); U (1, t ) = ψ 2 (t )
где ϕ(x) - начальное распределение температуры U при t=0;
ψ1(t), ψ2(t) распределение температуры на концах отрезка x=[0,1] в любой
момент времени t.
Начальные и граничные условия должны быть согласованы, то есть:
⎧U ( 0 , 0 ) = ϕ ( 0 ) = ψ 1 ( 0 ) Рис. 22
(3.4)
⎨
⎩ U (1, 0 ) = ϕ (1) = ψ 2 ( 0 ) u i j +1 − u i j u j +1 − 2 u i j +1 + u i j++11
Введём равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных ли- = a ⋅ i −1 , (3.6)
τ h2
ний:
xi=i .h , (i=0, 1, , n), i=1, ,n-1, j=0, ,m-1.
tj=j .τ, (j=0,1, ,m), Из системы алгебраических уравнений (3.5) или (3.6) определяют значе-
где h и τ - шаги по сетке в направлении осей x и t. ния сеточной функции во внутренних узлах.
Обозначим Ui j = u(xi, yj) значения искомой функции в узлах сетки. Ui j Значения в граничных узлах находятся из граничных условий:
заменим соответствующими значениями сеточной функции, которые удовле- u0 j=ψ1(tj) un j=ψ2(tj) (3.7)
творяют шаблону, представленному на рис. 21. Совокупность узлов при t=сonst называется слоем. Схема (3.5) позволяет
Заменим частные производные в системе уравнений (3.3) по шаблону: последовательно находить значения ui j+1 (i=1 n-1) на (j+1)-ом слое через
69 70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
