Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

63
Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравне-
ния сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (2.52). Эта
система является линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно
или нелинейно дифференциальное уравнение (2.52). Методы решения таких
систем рассмотрены ранее (см. гл. 4, [1]).
Рассмотрим пример решения краевой задачи методом конечных разно-
стей.
Требуется решить дифференциальное ур
авнение:
yxy 32
+
=
′
′
при усло-
виях y(0)=0, y(1)=1 и шаге h=0,2.
Вычислим число интервалов по формуле:
.5
01
=
−
=
h
n
Заменим вторую производную во внутренних узлах x
i
(i=1,2,…,n-1) конеч-
но-разностными соотношениями:
).2(
1
)(
11
2
−+
+−≈
′′
iiii
yyy
h
xy
Получим сле-
дующую систему линейных алгебраических уравнений:
.32)2(
04.0
1
4
;32)2(
04.0
1
3
;32)2(
04.0
1
2
;32)2(
04.0
1
1
44345
33234
22123
11012
yxyyyiдля
yxyyyiдля
yxyyyiдля
yxyyyiдля
+=+−=
+=+−=
+=+−=
+=+−=
После подстановки граничных условий y
0
=0, y
5
=1, расчета узлов сетки по
формуле x
i
=i
⋅
h и приведения подобных получим:
.936.012.2
;048.012.2
;032.012.2
;016.012.2
43
432
321
21
−=−
=+−
=+−
=+−
yy
yyy
yyy
yy
Полученная система линейных алгебраических уравнений является разре-
женной и легко может быть решена методом прогонки (см. рис.38, [1]).
Задание.
Разработать алгоритм решения краевой задачи методом конеч-
ных разностей с использованием метода прогонки.
64
2.5. Контрольные вопросы
1.
Что получается в результате применения численного метода для реше-
ния обыкновенных дифференциальных уравнений?
2.
От чего зависит точность получаемого результата?
3.
Что такое свойство «самостартования»?
4.
В чём состоит отличие одношаговых методов от многошаговых?
5.
Насколько точнее модифицированный метод Эйлера простого?
6.
Зависит ли получаемое решение каким-либо методом от начального ус-
ловия?
7.
Как определяется порядок точности метода?
8.
Основной недостаток многошаговых методов.
9.
От чего зависит точность многошаговых методов?
10.
Назовите достоинства методов прогноза и коррекции.
11.
Возможно ли применение одношаговых и многошаговых методов для
решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений?
12.
Сколько начальных условий должно быть задано для решения крае-
вой задачи? 
   Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравне-                                          2.5. Контрольные вопросы
ния сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (2.52). Эта                    1. Что получается в результате применения численного метода для реше-
система является линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно                       ния обыкновенных дифференциальных уравнений?
                                                                                           2. От чего зависит точность получаемого результата?
или нелинейно дифференциальное уравнение (2.52). Методы решения таких                      3. Что такое свойство «самостартования»?
систем рассмотрены ранее (см. гл. 4, [1]).                                                 4. В чём состоит отличие одношаговых методов от многошаговых?
   Рассмотрим пример решения краевой задачи методом конечных разно-                        5. Насколько точнее модифицированный метод Эйлера простого?
стей.                                                                                      6. Зависит ли получаемое решение каким-либо методом от начального ус-
                                                                                              ловия?
   Требуется решить дифференциальное уравнение: y ′′ = 2 x + 3 y при усло-
                                                                                           7. Как определяется порядок точности метода?
виях y(0)=0, y(1)=1 и шаге h=0,2.                                                          8. Основной недостаток многошаговых методов.
                                                   1− 0                                    9. От чего зависит точность многошаговых методов?
   Вычислим число интервалов по формуле: n =            = 5.                               10.Назовите достоинства методов прогноза и коррекции.
                                                    h
                                                                                           11.Возможно ли применение одношаговых и многошаговых методов для
   Заменим вторую производную во внутренних узлах xi (i=1,2, ,n-1) конеч-                     решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений?
но-разностными соотношениями: y′′( xi ) ≈
                                            1                                              12. Сколько начальных условий должно быть задано для решения крае-
                                               ( yi+1 − 2 yi + yi−1 ). Получим сле-
                                            h2                                                вой задачи?
дующую систему линейных алгебраических уравнений:
              1
   для i = 1      ( y 2 − 2 y1 + y0 ) = 2 x1 + 3 y1 ;
             0.04
               1
   для i = 2       ( y3 − 2 y2 + y1 ) = 2 x2 + 3 y2 ;
             0.04
               1
   для i = 3      ( y 4 − 2 y 3 + y 2 ) = 2 x3 + 3 y 3 ;
             0.04
               1
   для i = 4       ( y5 − 2 y 4 + y3 ) = 2 x4 + 3 y 4 .
             0.04
   После подстановки граничных условий y0=0, y5=1, расчета узлов сетки по
формуле xi=i⋅h и приведения подобных получим:
   − 2.12 y1 + y 2 = 0.016;
   y1 − 2.12 y 2 + y3 = 0.032;
   y 2 − 2.12 y3 + y 4 = 0.048;
   y3 − 2.12 y 4 = −0.936.
   Полученная система линейных алгебраических уравнений является разре-
женной и легко может быть решена методом прогонки (см. рис.38, [1]).
   Задание. Разработать алгоритм решения краевой задачи методом конеч-
ных разностей с использованием метода прогонки.



                                                                               63     64

Страницы