Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 29 стр.

                          2.4.1. Метод стрельбы                                      Следовательно, получим уравнение вида F(α ) = 0, где F(α ) = Y(1, α ) - y1.
   Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядка, разрешенного          Это уравнение отличается от привычной записи тем, что функцию F(α) нель-
относительно второй производной:                                                  зя представить в виде некоторого аналитического выражения, поскольку она
                                  Y'' = f(x, Y, Y').               (2.41)         является решением задачи Коши (2.41), (2.42). Тем не менее, для решения
   Будем искать решение Y=Y(x) этого уравнения на отрезке [0, 1]. Любой           уравнения может быть использован любой из рассмотренных ранее методов
отрезок [а, b] можно привести к этому отрезку с помощью замены перемен-           решения нелинейных уравнений.
ной                                                                                  Например, при использовании метода деления отрезка пополам поступа-
                                        x−a                                       ем следующим образом. Находим начальный отрезок [α0, α1], содержащий
                                   t=       .
                                        b−a                                       значение α*, на концах которого функция F(α) принимает значения разных
   Граничные условия на концах рассматриваемого отрезка примем в про-             знаков. Для этого решение задачи Коши Y(1, α0) должно при х=1 находиться
стейшем виде (2.37), т. е.                                                        ниже точки y1, а Y(1, α1) выше. Далее, полагая
                                   Y(0) = y0, Y(1) = y1.                (2.42)                                         α2 = (α0 + α1)/2,
   Сущность метода стрельбы заключается в сведении решения краевой за-
                                                                                  снова решаем задачу Коши при α = α2 и в соответствии с методом деления
дачи (2.41), (2.42) к решению задач Коши для того же уравнения (2.41) с на-
                                                                                  отрезка пополам отбрасываем один из отрезков: [α0, α2] или [α2, α1], на кото-
чальными условиями:
                                                                                  ром функция F(α) не меняет знак, и т. д.
                                Y(0) = y0 , Y’(0) = k = tgα.            (2.43)
                                                                                     Процесс поиска решения прекращается, если разность двух последова-
   Здесь у0 - точка на оси ординат, в которой помещается начало искомой ин-
                                                                                  тельно найденных значений α меньше некоторого наперед заданного малого
тегральной кривой; α - угол наклона касательной к интегральной кривой в
                                                                                  числа ε>0. В этом случае последнее решение задачи Коши и будет принято за
этой точке (рис. 16).
                                                                                  искомое решение краевой задачи.
   Считая решение задачи Коши Y = Y(х, α) зависящим от параметра α , бу-
                                                                                     Описанный алгоритм называется методом стрельбы вполне оправданно,
дем искать такую интегральную кривую Y = Y(x, α*), которая выходит из точ-
                                                                                  поскольку в нем как бы проводится “пристрелка” по углу наклона интеграль-
ки (0, y0) и попадает в точку (1, у1). Таким образом, если α =α* , то решение     ной кривой в начальной точке. Следует отметить, что этот алгоритм хорошо
Y(x, α) задачи Коши совпадает с решением Y(x) краевой задачи. При x=1, учи-       работает в том случае, если решение Y(x, α) не слишком чувствительно к из-
тывая второе граничное условие (2.43), получаем Y(1, α) = у1 или                  менениям α ; в противном случае мы можем столкнуться с неустойчивостью.
                                  Y(1, α ) - y1 = 0.                    (2.44)       Существуют другие алгоритмы метода стрельбы. В частности, одним из
             y                              Y( х, α                               самых надежных является метод Ньютона. Он состоит в следующем. Пусть
                                                                                  α0 - начальное приближение, α* - искомое значение, которое будем опреде-
                                             Y(х, α*)                             лять по формуле α* = α0 + Δα . Решая задачу Коши при α = α0, находим
            y1
                                                                                  Y(x, α0). Тогда можем записать разложение по формуле Тейлора с сохранени-
                                                                                  ем только линейных по Δα членов:
                                                     y1
                         α        α*                                                                        Y (1, α 0 + Δα ) ≈ Y (1, α 0 ) +
                                                                                                                                             ∂Y
                                                                                                                                                Δα .
            y0                                                                                                                               ∂α
                                                                                     Полагая Y(1, α0 + Δα ) = Y(1, α*) = y1, находим
              0                                  1        х
                       Рис.16. Метод стрельбы
                                                                            57    58