Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 39 стр.

   Отметим, что в правую часть уравнения (3.22) входит значение u i −1 на
                                                                                             j +1

                                                                                                                          ui   j +1
                                                                                                                                      =
                                                                                                                                                        (             )                 j
                                                                                                                                        u ij−1 (1 + λ ) + u ij + u ij−+11 (1 − λ ) + 2τ f i
                                                                                                                                                                                            , λ=
                                                                                                                                                                                                 aτ
                                                                                                                                                                                                    .   (3.24)
j+1-м слое, которое при вычислении u i
                                                       j +1
                                                              уже найдено. При расчете u
                                                                                                     j +1                                                      1+ λ                               h
                                                                                                    1
                                                                                                               Построенная схема имеет второй порядок точности.
              j +1
значение u 0         берётся из граничного условия (3.17). По объему вычислений                                Все рассмотренные выше разностные схемы решения линейного уравне-
и логике программы, блок-схема которой приведена на рис.25, схема (3.22)                                    ния переноса называются схемами бегущего счета. Они позволяют последо-
аналогична схеме (3.15), однако безусловная устойчивость делает её более                                    вательно находить значения сеточной функции в узлах разностной сетки.
удобной, поскольку исключается ограничение на величину шага.                                                   Схемы бегущего счета, построенные для случая одной пространственной
   Схему (3.15) можно применять и для решения задачи Коши в неограни-                                       переменной х, можно обобщить на многомерный случай. Рассмотрим для оп-
ченной области, поскольку граничное условие (3.17) в этой схеме можно не                                    ределенности смешанную задачу для двумерного линейного уравнения пере-
использовать. Рассмотрим еще одну разностную схему, которую построим на                                     носа:
симметричном прямоугольном шаблоне (рис. 26).                                                                                             ∂U       ∂U      ∂U
                                  i-1, j+1                                                                                                    + a1    + a2    = f ( x, y , t ) ,                        (3.25)
                                                              i, j+1                                                                       ∂t      ∂x      ∂y
                                                                                                                                             0 ≤ x ≤ 1,         0 ≤ y ≤ 1,     0 ≤ t ≤ T,
                                                                                                                                                        U(x, y, 0)=ϕ(x, y) ,                            (3.26)
                                                                                                                                       U (0, y, t ) = Ψ1 ( x, t ), U ( x,0, t ) = Ψ2 ( x, t ) .         (3.27)
                                                                                                               Здесь a1>0, а2>0 - скорости переноса вдоль осей х, у; (3.26)—начальное
                       i, j+1       i-1, j                     i, j                                         условие при t=0; (3.27) — граничные условия при х= 0, у=0.
                      Рис.26. Прямоугольный шаблон                                                             В трехмерной области (х, у, t) построим разностную сетку, ячейки которой
   Производная по t здесь аппроксимируется в виде полусуммы отношений                                       имеют форму прямоугольного параллелепипеда (рис.27). Для этого проведем
односторонних конечных разностей в i-1-м и i-м узлах, а производная по х - в                                координатные плоскости через точки деления осей х, у, t: xi = ih1 (i=0,1,
виде полусуммы конечно-разностных соотношений на j-м и j+1-м слоях. Пра-
                                                                                                            ..., n), y j = jh2 (j=0,1,...,m), t k = kτ               (k=0,1,...,l). Значение сеточной функ-
вая часть вычисляется в центре ячейки, хотя возможны и другие способы ее
вычисления (например, в виде некоторой комбинации ее значений в узлах).                                     ции в узле (i, j, k), с помощью которой аппроксимируются значения
    В результате указанных аппроксимаций получим разностное уравнение в                                     U ( xi , y j , t k ) , обозначим через u ijk . Сплошными линиями соединены узлы
виде:
                                                                                                            шаблона. Нижний слой (нижнее основание параллелепипеда) имеет номер k,
     1 ⎛ u ij−+11 − u ij−1 u ij +1 − u ij   ⎞ 1 ⎛ u ij − u ij−1 u ij +1 − u ij−+11 ⎞       j
                                                                                                            верхний k+1.
        ⎜                 +                 ⎟⎟ + ⎜⎜            +                   ⎟⎟ = f i , (3.23)
     2 ⎜⎝        τ                τ          ⎠ 2⎝      h                h           ⎠                                                            i-1, j, k+1           i, j, k+1
                                      j
                                    f i = f ( xi + h / 2, t j + τ / 2) .                                                                     t
   Данная двухслойная четырёхточечная схема также формально построена                                                                                                           i, j-1, k+1
как неявная. Однако из (3.23) можно выразить неизвестное значение u i
                                                                                                     j +1                                                   y
через остальные, которые предполагаются известными:                                                                                                                          i, j, k
                                                                                                                                                                       x
                                                                                                                                      Рис. 27. Шаблон для двумерного уравнения.
                                                                                                    77      78