Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 40 стр.

   Построим безусловно устойчивую разностную схему первого порядка                                                                  При этом значение u 00
                                                                                                                                                           k +1
                                                                                                                                                                  в угловой точке (х=0, у=0) в данной разностной
точности, аналогичную схеме (3.22).
                                                                                                                               схеме не используется.
   По аналогии с (3.21) запишем разностное уравнение, аппроксимирующее
                                                                                                                                  Блок-схема решения смешанной задачи (3.25) - (3.27) для двумерного
дифференциальное уравнение (3.25):
                                                                                                                               уравнения переноса по схеме (3.29) с учетом начального и граничных усло-
                        u ijk +1 − u ijk          u ijk +1 − u ik−+11, j          u ijk +1 − u ik, +j −11                      вий (3.30) и (3.31) представлена на рис. 29.
                                           + a1                            + a2                             = f ijk   (3.28)
                              τ                            h1                              h2                                     В данной блок-схеме предусмотрено хранение в памяти машины не пол-
     Разрешим это уравнение относительно значения сеточной функции в узле                                                                                                                   k
                                                                                                                               ного трехмерного массива искомых значений u ij , а лишь значений на двух
(i, j, k+1):
                                           u ijk + λ1u ik−+11, j + λ 2 u ik, +j −11 + τf ijk                                   слоях: vij - нижний слой, u ij —верхний слой (искомые значения). Блок «Вы-
                              u ijk +1 =                                                        ,                     (3.29)
                                                          1 + λ1 + λ 2                                                         числение u ij » производит вычисление искомого значения по формуле (3.29),
                          λ1 = a1τ / h1 ,                    λ 2 = a 2τ / h2 .                                                 которая в принятых на блок-схеме обозначениях имеет вид:
   Вычислительный алгоритм этой схемы аналогичен алгоритму одномерной                                                                                     vij + λ1ui −1, j + λ 2ui , j −1 + τf ij
схемы (3.22). Здесь также счет производится по слоям k = 1, 2, ..., l. При k=0                                                                    uij =                                             .     (3.32)
                                                                                                                                                                     1 + λ1 + λ 2
используется начальное условие (3.26), которое нужно переписать в разност-
ном виде:
                                                                                                                                                    3.3. Уравнения второго порядка
                                                           u ij0 = ϕ ij .                                             (3.30)                            3.3.1. Волновое уравнение
                                                                                                                                   Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений
   На каждом слое последовательно вычисляются значения сеточной функ-
                                                                                                                               с частными производными второго порядка является волновое уравнение,
ции в узлах. При этом последовательность перехода от узла к узлу может
                                                                                                                               описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания — процесс
быть различной: двигаются параллельно либо оси х, либо оси у. Во втором
                                                                                                                               нестационарный, то одной из независимых переменных является время t.
случае (по оси у) последовательность вычисляемых значений следующая:
                                                                                                                               Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также про-
           u11k +1 , u12k +1 ,K, u1km+1 , u21
                                           k +1    k +1
                                                , u22   ,K, u2km+1 ,..., unk1+1 , unk2+1 ,..., unm
                                                                                                k +1
                                                                                                     .                         странственные координаты x, y, z.
   На рис. 28 показана нумерация узлов, соответствующая данной последо-                                                            В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и
вательности вычислений на каждом временном t-слое. Точками отмечены                                                            трехмерное волновые уравнения.
расчётные узлы сетки, крестиками - граничные узлы, в которых значения се-                                                          Одномерное волновое уравнение описывает продольные колебания стерж-
точной функции задаются граничными условиями (3.27). Эти условия необ-                                                         ня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движе-
ходимо записать в сеточном виде:                                                                                               ния, а также поперечные колебания тонкого стержня (струны) и другие зада-
                            u 0k +j 1 = ψ 1 ( y j , t k +1 ),               u ik0+1 = ψ 2 ( xi , t k +1 ) .           (3.31)   чи.
                                            y                                                                                      Двумерное волновое уравнение используется для исследования колебаний
                                                   1,5     2,5     3,5      4,5                                                тонкой пластины (мембраны).
                                                   1,4      2,4     3,4     4,4                                                    Трехмерное волновое уравнение описывает распространение волн в про-
                                                   1,3      2,3     3,3     4,3
                                                                                                                               странстве (например, звуковых волн в жидкости, упругих волн в сплошной
                                                   1,2      2,2     3,2     4,2
                                                                                                                               среде и т. п.).
                                                   1,1      2,1     3,1     4,1

                                            0                                          х

                                Рис. 28. Последовательность вычислений                                                   79    80