ВУЗ:
Составители:
81
Начало
ввод n, m, l,
a
1
, a
2
, h
1
, h
2
, τ
v
:= u
u[0, j]
:= ψ
1
( y[ j]
, t[k])
печать k
Рис. 29. Блок-схема решения двумерного уравнения
Запоминаем значения сеточной
функции на предыдущем k-слое.
Матрицы
v и u должны иметь
совместимые типы
i:=1, n
x[i]:=i⋅h
1
y[j]:=j⋅h
2
k:=1, l
t[k]:=k⋅
τ
j:=1, m
j:=1, m
i:=1, n
u[i, j]:= ϕ ( x[i], y[j])
печать u[i, j]
перевод
курсора
λ
1
:=a
1
⋅τ/h
1
,
λ
2
:=a
2
⋅τ/h
2
печать ‘k=0’
k:=1, l
1
2
j:=1, m
i:=1, l
u[i, 0]
:=
ψ
2
( x[i]
, t[k])
j:=1, m
u[i, j]
:= (v[i, j]+
λ
1
⋅
u[i-1, j]+
λ
2
⋅
u[i, j-1]+
+τ⋅ f(x[i], y[j], t[k]))/(1+λ
1
+λ
2
)
1
печать u[i, j]
перевод
курсора
2
Конец
82
Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в
виде:
2
2
2
2
2
x
U
a
t
U
∂
∂
=
∂
∂
. (3.33)
Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x, t) описывает
положение струны в момент t. В этом случае а
2
=T
/ρ
, где Т — натяжение
струны,
ρ
— ее линейная (погонная) плотность. Колебания предполагаются
малыми, т. е. их амплитуда мала по сравнению с длиной струны. Кроме того,
уравнение (3.33) записано для случая свободных колебаний. В случае вынуж-
денных колебаний в правой части уравнения добавляется некоторая функция
f(x, t), характеризующая внешние воздействия. Сопротивление среды колеба-
тельному процессу не учитывается.
Простейшей задачей для ур
авнения (3.33) является задача Коши: в на-
чальный момент времени задаются два условия (количество условий равно
порядку входящей в уравнение производной по t):
)()0,(
0
xxUU
t
ϕ==
=
,
)(/
0
xtU
t
ψ=∂∂
=
. (3.34)
Эти условия описывают начальную форму струны
)(xU
ϕ
=
и скорость
движения ее точек
)(x
ψ
.
На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной
струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины l. В
этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закре-
пленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид:
0
0
=
=t
U
,
0=
=lx
U
. (3.35)
Рассмотрим некоторые разностные схемы для решения задачи (3.33)—
(3.35). Простейшей является явная трёхслойная схема крест (шаблон показан
на рис.30). Заменим в уравнении (3.33) вторые производные искомой функ-
ции U по t и х конечно-разностными соотношениями с помощью значений
сеточной функции
j
i
u в узлах сетки (
ji
tx ,
):
2
11
2
2
11
22
h
uuu
a
uuu
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i −+
−+
+−
=
+−
τ
, i=1, 2,…,n-1, j=1, 2,…,m-1.
Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на
j+1-м слое:
Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в
Начало виде:
ввод n, m, l, 1 ∂ 2U 2 ∂ U
2
= a . (3.33)
a1, a2, h1, h2, τ Конец ∂t 2 ∂x 2
2 k:=1, l
Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x, t) описывает
λ1:=a1⋅τ/h1, Запоминаем значения сеточной
функции на предыдущем k-слое. положение струны в момент t. В этом случае а2 =T/ρ, где Т натяжение
λ2:=a2⋅τ/h2 v := u Матрицы v и u должны иметь струны, ρ ее линейная (погонная) плотность. Колебания предполагаются
совместимые типы
i:=1, n j:=1, m малыми, т. е. их амплитуда мала по сравнению с длиной струны. Кроме того,
уравнение (3.33) записано для случая свободных колебаний. В случае вынуж-
x[i]:=i⋅h1 u[0, j] := ψ1 ( y[ j] , t[k]) денных колебаний в правой части уравнения добавляется некоторая функция
f(x, t), характеризующая внешние воздействия. Сопротивление среды колеба-
j:=1, m печать k тельному процессу не учитывается.
Простейшей задачей для уравнения (3.33) является задача Коши: в на-
y[j]:=j⋅h2 i:=1, l чальный момент времени задаются два условия (количество условий равно
2
порядку входящей в уравнение производной по t):
k:=1, l u[i, 0] := ψ2 ( x[i] , t[k])
U = U ( x,0) = ϕ( x) ,
t =0
∂U / ∂t = ψ( x) . (3.34)
t =0
t[k]:=k⋅τ j:=1, m Эти условия описывают начальную форму струны U = ϕ ( x) и скорость
u[i, j] := (v[i, j]+λ1⋅u[i-1, j]+ λ2⋅u[i, j-1]+
движения ее точек ψ (x) .
печать k=0
+τ⋅ f(x[i], y[j], t[k]))/(1+λ1+λ2) На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной
струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины l. В
i:=1, n 1
печать u[i, j] этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закре-
j:=1, m пленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид:
перевод
u[i, j]:= ϕ ( x[i], y[j]) курсора U t =0
=0 , U x =l
=0. (3.35)
Рассмотрим некоторые разностные схемы для решения задачи (3.33)
печать u[i, j] (3.35). Простейшей является явная трёхслойная схема крест (шаблон показан
на рис.30). Заменим в уравнении (3.33) вторые производные искомой функ-
перевод ции U по t и х конечно-разностными соотношениями с помощью значений
курсора j
сеточной функции u i в узлах сетки ( xi , t j ):
Рис. 29. Блок-схема решения двумерного уравнения
u ij +1 − 2u ij + u ij −1 u ij+1 − 2u ij + u ij−1
=a 2
, i=1, 2, ,n-1, j=1, 2, ,m-1.
τ2 h2
Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на
j+1-м слое:
81 82
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
