ВУЗ:
Составители:
83
1
11
1
)()1(2
−
−+
+
−++−=
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
uuuuu
λλ
,
222
/ ha
τλ
=
. (3.36)
Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных
значений на j+1-м слое нужно знать решения на j-м и j-1-м слоях. Поэтому
следует начать счет по формулам (3.36) со второго слоя, а решения на нуле-
вом и первом слоях должны быть известны. Они находятся с помощью на-
чальных условий (3
.34). На нулевом слое имеем:
)(
0
ii
xu
ϕ
=
, i=0, 1, …,n. (3.37)
Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным
условием (3.34). Производную
tU ∂∂ / заменим конечно-разностной аппрок-
симацией. В простейшем случае полагают:
)(
01
0
i
ii
t
x
uu
t
U
ψ
τ
≈
−
≈
∂
∂
=
. (3.38)
Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на пер-
вом временном слое:
)(
01
iii
xuu
τψ
+=
, i=0, 1, …,n, t=0. (3.39)
Отметим, что аппроксимация начального условия в виде (3.38) ухудшает
аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппрок-
симации становится порядка O(
τ
+
2
h ), т. е. первого порядка по
τ
, хотя
сама схема (3.36) имеет второй порядок аппроксимации по h и
τ
. Положение
можно исправить, если вместо (3.39) взять более точное представление:
0
2
22
0
01
2
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+=
t
t
ii
t
U
t
U
uu
τ
τ
. (3.40)
Рис. 30. Шаблон явной схемы «крест».
i, j+1
i, j -1
i -1, j
i, j
i+1, j
τ
τ
h
h
t
x
0
84
Вместо дU/дt нужно взять )(x
ψ
. А выражение для второй производной
можно найти с использованием уравнения (3.33) и первого начального усло-
вия (3.34). Получим:
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
dx
d
a
t
U
a
t
U
tt
ϕ
=
∂
∂
=
∂
∂
==
.
Тогда (3.39) принимает вид:
)(
2
)(
22
01
iiii
x
a
xuu ϕ
′′
τ
+τψ+=
i=0,1, …,n. (3.41)
Разностная схема (3.36) с учетом (3.41) обладает погрешностью аппрок-
симации второго порядка точности
)(
22
τ
+hO
.
При решении смешанной задачи с граничными условиями вида (3.35), т. е.
когда на концах рассматриваемого отрезка заданы значения самой функции,
второй порядок аппроксимации сохраняется. В этом случае для удобства
крайние узлы сетки располагают в граничных точках (х
0
=0, х
1
=l). Однако гра-
ничные условия могут задаваться и для производной. Например, в случае
свободных продольных колебаний стержня на его незакрепленном конце за-
дается условие:
0=
∂
∂
=lx
x
U
(3.42)
Если это условие записать в разностном виде с первым порядком аппрок-
симации, то погрешность аппроксимации схемы станет порядка O(h
2
+
τ
2
).
Поэтому для сохранения второго порядка данной схемы по h необходимо
граничное условие (3.42) аппроксимировать со вторым порядком.
Рассмотренная разностная схема (3.36) решения задачи (3.33) - (3.35) ус-
ловно устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости имеет
вид:
1/
<
ha
τ
. (3.43)
Данная схема часто используется в практических расчетах. Она обеспечи-
вает приемлемую точность получения решения U(x, t), которое имеет непре-
рывные производные четвертого порядка.
Блок-схема решения задачи (3.33)—(3.35) с помощью данной явной разно-
стной схемы приведена на рис. 32. В данном алгоритме все значения сеточ-
ной функции, образующие двумерный массив, по мере вычисления хран
ятся
в памяти ЭВМ, а после решения задачи происходит вывод результатов. Мож-
u ij +1 = 2(1 − λ )u ij + λ (u ij+1 + u ij−1 ) − uij −1 , λ = a τ / h .
2 2 2
(3.36) Вместо дU/дt нужно взять ψ ( x) . А выражение для второй производной
i, j+1 можно найти с использованием уравнения (3.33) и первого начального усло-
вия (3.34). Получим:
τ
∂ 2U ∂ 2U d 2ϕ .
i -1, j i+1, j
= a2 = a2
h i, j h ∂t 2 t =0
∂t 2 t =0
dx 2
Тогда (3.39) принимает вид:
τ a 2τ2 i=0,1, ,n. (3.41)
t ui1 = ui0 + τψ( xi ) +ϕ′′( xi )
2
x i, j -1
0
Разностная схема (3.36) с учетом (3.41) обладает погрешностью аппрок-
Рис. 30. Шаблон явной схемы «крест». симации второго порядка точности O (h 2 + τ 2 ) .
Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных При решении смешанной задачи с граничными условиями вида (3.35), т. е.
значений на j+1-м слое нужно знать решения на j-м и j-1-м слоях. Поэтому когда на концах рассматриваемого отрезка заданы значения самой функции,
следует начать счет по формулам (3.36) со второго слоя, а решения на нуле- второй порядок аппроксимации сохраняется. В этом случае для удобства
вом и первом слоях должны быть известны. Они находятся с помощью на- крайние узлы сетки располагают в граничных точках (х0=0, х1=l). Однако гра-
чальных условий (3.34). На нулевом слое имеем: ничные условия могут задаваться и для производной. Например, в случае
u i0 = ϕ ( xi ) , i=0, 1, ,n. (3.37) свободных продольных колебаний стержня на его незакрепленном конце за-
дается условие:
Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным
∂U (3.42)
условием (3.34). Производную ∂U / ∂t заменим конечно-разностной аппрок- =0
∂x x =l
симацией. В простейшем случае полагают:
Если это условие записать в разностном виде с первым порядком аппрок-
∂U u i1 − u i0
≈ ≈ ψ ( xi ) . (3.38) симации, то погрешность аппроксимации схемы станет порядка O(h2+τ2).
∂t t =0 τ Поэтому для сохранения второго порядка данной схемы по h необходимо
Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на пер- граничное условие (3.42) аппроксимировать со вторым порядком.
вом временном слое: Рассмотренная разностная схема (3.36) решения задачи (3.33) - (3.35) ус-
u i1 = u i0 + τψ ( xi ) , i=0, 1, ,n, t=0. (3.39) ловно устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости имеет
Отметим, что аппроксимация начального условия в виде (3.38) ухудшает вид:
аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппрок- aτ / h < 1 . (3.43)
Данная схема часто используется в практических расчетах. Она обеспечи-
симации становится порядка O( h + τ ), т. е. первого порядка по τ , хотя
2
вает приемлемую точность получения решения U(x, t), которое имеет непре-
сама схема (3.36) имеет второй порядок аппроксимации по h и τ . Положение
рывные производные четвертого порядка.
можно исправить, если вместо (3.39) взять более точное представление:
Блок-схема решения задачи (3.33)(3.35) с помощью данной явной разно-
∂U τ 2 ∂ 2U стной схемы приведена на рис. 32. В данном алгоритме все значения сеточ-
u i1 = u i0 + τ + . (3.40)
∂t t =0 2 ∂t 2 t =0 ной функции, образующие двумерный массив, по мере вычисления хранятся
в памяти ЭВМ, а после решения задачи происходит вывод результатов. Мож-
83 84
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
