ВУЗ:
Составители:
87
Начало
ввод
n, m, h,τ, a
λ
= a
τ
/ h, c
1
=
λ
2
, c
2
= 2(1 - c
1
)
λ
= a
⋅
τ
/ h, c
1
= λ
2
, c
2
= 2⋅(1 - c
1
)
x[i]:=i⋅h,
u[i,0]
:=ϕ (x[i])
u[i,1]
:= u[i,0]
+τ⋅ψ(x[i])
u[0,j+1]= 0
u[1,j+1]
= 0
u[i,j+1]=c
2
⋅
u[i,j]+ c
1
⋅
(u[i+1,j] +
u[i-1,j] )- u[i,j-1]
печать
u[i,j]
Конец
Рис. 32. Блок-схема решения волнового уравнения
i := 0, n
j := 1, m-1
i := 1, n
i := 0, n
j := 0, m
перевод
курсора
88
При λ=1/2 получается особенно простой вид рекуррентных соотношений
(3.49):
2/)(
11
1 j
i
j
i
j
i
uuu
−+
+
+= . (3.51)
Условие устойчивости (3.50) накладывает ограничение на шаг по t при
выбранном значении h, что характерно для явных схем.
Построим простейшую неявную схему. Производную д
2
U/дх
2
аппрокси-
мируем на j+1-м слое:
2
1
1
11
1
2
2
2
h
uuu
x
U
j
i
j
i
j
i
+
−
++
+
+−
≈
∂
∂
.
В этом случае получается трёх диагональная система линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно значений сеточной функции в узлах верхнего
слоя, которая имеет вид:
.1,...,2,1,)21(
1
1
11
1
−=−=++−
+
+
++
−
niuuuu
j
i
j
i
j
i
j
i
λλλ
(3.52)
Эта система может быть решена методом прогонки. При этом разностное
решение сходится к точному со вторым порядком по h и с первым порядком
по
τ
. Схема (3.52) всегда устойчива.
Выражения (3.49) и (3.52) определяют значения сеточной функции во
внутренних узлах, а решение на границе находится из граничных условий,
которые зависят от конкретной постановки задачи. В частности, если гранич-
ные условия имеют вид (3.48), то на каждом слое
)(
10 j
j
tu
ψ
= , )(
2 j
j
n
tu
ψ
= . (3.53)
В граничные условия может также входить производная искомой функции
(температуры). Например, если конец стержня х = 0 теплоизолирован, то ус-
ловие имеет вид:
0
0
=
∂
∂
=x
x
U
. (3.54)
В этом случае, как и при решении волнового уравнения, данное условие
нужно записывать в разностном виде.
Задание.
Разработайте алгоритмы решения одномерного уравнения тепло-
проводности с использованием явной (3.49) и неявной (3.52) разностных
схем.
При λ=1/2 получается особенно простой вид рекуррентных соотношений
Начало
(3.49):
ввод u ij +1 = (u ij+1 + u ij−1 ) / 2 . (3.51)
n, m, h,τ, a
Условие устойчивости (3.50) накладывает ограничение на шаг по t при
выбранном значении h, что характерно для явных схем.
λ= aτ / h, c11 = λ2, c2 =
= a⋅τ = 2⋅(1
2(1 -- cc11)
Построим простейшую неявную схему. Производную д2U/дх2 аппрокси-
мируем на j+1-м слое:
i := 0, n
∂ 2U u ij++11 − 2u ij +1 + u ij−+11
≈ .
x[i]:=i⋅h, ∂x 2 h2
u[i,0] :=ϕ (x[i])
u[i,1] := u[i,0] +τ⋅ψ(x[i]) В этом случае получается трёх диагональная система линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно значений сеточной функции в узлах верхнего
слоя, которая имеет вид:
j := 1, m-1 λuij−+11 − (1 + 2λ )uij +1 + λuij++11 = −uij , i = 1, 2,..., n − 1. (3.52)
Эта система может быть решена методом прогонки. При этом разностное
u[0,j+1]= 0
u[1,j+1] = 0
решение сходится к точному со вторым порядком по h и с первым порядком
по τ. Схема (3.52) всегда устойчива.
i := 1, n Выражения (3.49) и (3.52) определяют значения сеточной функции во
внутренних узлах, а решение на границе находится из граничных условий,
u[i,j+1]=c2 ⋅u[i,j]+ c1⋅ (u[i+1,j] + u[i-1,j] )- u[i,j-1]
которые зависят от конкретной постановки задачи. В частности, если гранич-
ные условия имеют вид (3.48), то на каждом слое
i := 0, n Конец u 0j = ψ 1 (t j ) , unj = ψ 2 (t j ) . (3.53)
j := 0, m В граничные условия может также входить производная искомой функции
(температуры). Например, если конец стержня х = 0 теплоизолирован, то ус-
печать ловие имеет вид:
u[i,j]
∂U
перевод
= 0. (3.54)
курсора
∂x x =0
В этом случае, как и при решении волнового уравнения, данное условие
Рис. 32. Блок-схема решения волнового уравнения
нужно записывать в разностном виде.
Задание. Разработайте алгоритмы решения одномерного уравнения тепло-
проводности с использованием явной (3.49) и неявной (3.52) разностных
схем.
87 88
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
