ВУЗ:
Составители:
91
Формулы (3.57) или (3.59) представляют рекуррентные соотношения для
последовательного вычисления сеточной функции во внутренних узлах слоев
k=1, 2,…, l. На нулевом слое используется начальное условие (3.56), которое
записывается в виде
),(
0
iiij
yxu
ϕ
= . (3.60)
Значения
,,,,
00
k
im
k
i
k
jn
k
j
uuuu
в граничных узлах вычисляются с помо-
щью граничных условий, заданных на боковых гранях:
).,(),1,();,(),0,(
);,(),,1();,(),,0(
43
21
txtxUtxtxU
tytyUtytyU
ψψ
ψ
ψ
==
=
=
Блок-схема решения смешанной задачи для двумерного уравнения тепло-
проводности изображена на рис. 35. Здесь решение хранится на двух слоях:
нижнем (массив
ij
v ) и верхнем (массив
ij
u ). Блоки граничных условий необ-
ходимо сформировать в зависимости от конкретного вида этих условий. Вы-
вод результатов производится на каждом слое.
Можно построить устойчивую неявную схему для решения уравнения
(3.55), аналогичную схеме (3.52) для одномерного уравнения теплопроводно-
сти. Аппроксимируя в (3.55) вторые производные по пространственным пе-
ременным на k+1-м слое, получаем следующее разностное ур
авнение:
2
2
1
1,
11
1|,
2
1
1
,1
11
,1
1
22
h
uuu
h
uuuuu
k
ji
k
ij
k
ji
k
ji
k
ij
k
ji
k
ij
k
ij
+
−
++
+
+
−
++
+
+
+−
+
+−
=
−
τ
.
Это уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических
уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое:
k
ij
k
ji
k
ji
k
ij
k
ji
k
ji
uuuuuu −=++++−+
+
+
+
−
++
+
+
−
)()221()(
1
1,
1
1,2
1
21
1
,1
1
,11
λλλλ
,
2
22
2
11
/,/ hh
τλτλ
== , i=l, 2,..., n-1, j=1, 2,..., m-1. (3.61)
К этой системе уравнений нужно добавить граничные условия для опре-
деления значений сеточной функции в граничных узлах (т. е. при i=0, n; j=0,
m). На нулевом слое решение находится из начального условия (3.56), пред-
ставленного в виде (3.60).
Система (3.61), полученная для двумерного уравнения теплопроводности,
имеет более сложный вид, чем аналогичная система (3
.52) для одномерного
случая, которую можно решить методом прогонки. Таким образом, распро-
92
странение неявной схемы на многомерный случай приводит к значительному
усложнению вычислительного алгоритма и увеличению объема вычислений.
Недостатком явной схемы (3.57) является жесткое ограничение на шаг по
времени
τ
, вытекающее из условия (3.58). Существуют абсолютно устойчи-
вые экономичные разностные схемы, позволяющие вести расчет со сравни-
тельно большим значением шага по времени (
τ ∼
h) и требующие меньшего
объема вычислений.
Начало
Ввод n, m, l,
h
1
,
h
2
,
dt
)(21:
/:,/:
21
2
22
2
11
λλ
λλ
+−=
==
c
hdthdt
k
:
=
0
i := 1, n
j := 1, m
u[i, j] :=
ϕ
(x[i], y[j])
Печать u[i, j]
Печать k
v := u
j := 0, m
u[0, j]:=
Ψ
1
(y
j
); u[m,j]:=Ψ
2
(y
j
);
k := k+1
Перевод
к
ур
со
р
а
i := 0, n
x[i]:=i
⋅
h
1
j := 0, m
y[j]:=j
⋅
h
2
i := 1, n
j := 1, m
u[i, j] :=
λ
1
(v[i+1, j]+v[i-1, j])+
+c⋅v[i, j]+
λ
2
(v[i, j+1]+v[i, j-1])
Перевод
к
ур
со
р
а
u[i, 0]:=
Ψ
3
(x[i]);u[i, m]:=Ψ
4
(x[i])
Печать u[i, j]
Печать k
k ≥ l
нет
Начало
да
Рис. 35. Блок-схема решения двумерного уравнения теплопроводности.
Формулы (3.57) или (3.59) представляют рекуррентные соотношения для странение неявной схемы на многомерный случай приводит к значительному
последовательного вычисления сеточной функции во внутренних узлах слоев усложнению вычислительного алгоритма и увеличению объема вычислений.
k=1, 2, , l. На нулевом слое используется начальное условие (3.56), которое Недостатком явной схемы (3.57) является жесткое ограничение на шаг по
записывается в виде времени τ , вытекающее из условия (3.58). Существуют абсолютно устойчи-
u ij0 = ϕ ( xi , y i ) . (3.60) вые экономичные разностные схемы, позволяющие вести расчет со сравни-
тельно большим значением шага по времени (τ ∼ h) и требующие меньшего
Значения u 0k j , u nk j , u ik0 , u imk , в граничных узлах вычисляются с помо- объема вычислений.
щью граничных условий, заданных на боковых гранях: Начало
v := u
U (0, y, t ) = ψ 1 ( y, t ); U (1, y, t ) = ψ 2 ( y, t );
Ввод n, m , l,
U ( x,0, t ) = ψ 3 ( x, t ); U ( x,1, t ) = ψ 4 ( x, t ). h 1 , h 2 , dt j := 0, m
Блок-схема решения смешанной задачи для двумерного уравнения тепло- λ 1 := dt / h12 , λ 2 := dt / h 22
проводности изображена на рис. 35. Здесь решение хранится на двух слоях: u[0, j]:=Ψ 1 (yj ); u[m,j]:=Ψ 2 (y j );
c := 1 − 2 ( λ 1 + λ 2 )
нижнем (массив vij ) и верхнем (массив u ij ). Блоки граничных условий необ-
i := 0, n
ходимо сформировать в зависимости от конкретного вида этих условий. Вы- k := k+1
вод результатов производится на каждом слое. x[i]:=i⋅h 1
Можно построить устойчивую неявную схему для решения уравнения Печать k
j := 0, m
(3.55), аналогичную схеме (3.52) для одномерного уравнения теплопроводно-
сти. Аппроксимируя в (3.55) вторые производные по пространственным пе- y[j]:=j⋅h 2 i := 1, n
ременным на k+1-м слое, получаем следующее разностное уравнение:
u[i, 0]:=Ψ 3 (x[i]);u[i, m]:=Ψ 4 (x[i])
u ijk +1 − u ijk u ik++11, j − 2u ijk +1 + u ik−+11, j u ik, +j 1+|1 − 2u ijk +1 + u ik, +j −11 k := 0
= + . j := 1, m
τ h12 h22 Печать k
Это уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических i := 1, n u[i, j] := λ 1 (v[i+1, j]+v[i-1, j])+
уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое: +c⋅v[i, j]+ λ 2 (v[i, j+1]+v[i, j-1])
λ1 (u ik−+11, j + u ik++11, j ) − (1 + 2λ1 + 2λ 2 )u ijk +1 + λ 2 (u ik, +j 1−1 + u ik, +j 1+1 ) = −u ijk , j := 1, m
Печать u[i, j]
λ1 = τ / h , λ 2 = τ / h
1
2 2
2 , i=l, 2,..., n-1, j=1, 2,..., m-1. (3.61) u[i, j] := ϕ(x[i], y[j])
Перевод
К этой системе уравнений нужно добавить граничные условия для опре- курсора
Печать u[i, j]
деления значений сеточной функции в граничных узлах (т. е. при i=0, n; j=0,
m). На нулевом слое решение находится из начального условия (3.56), пред- нет
Перевод k≥l
ставленного в виде (3.60). курсора
Система (3.61), полученная для двумерного уравнения теплопроводности, да
имеет более сложный вид, чем аналогичная система (3.52) для одномерного Начало
случая, которую можно решить методом прогонки. Таким образом, распро-
Рис. 35. Блок-схема решения двумерного уравнения теплопроводности.
91 92
