ВУЗ:
Составители:
89
Перейдем к построению разностных схем для уравнения теплопроводно-
сти с двумя пространственными переменными. Положим для простоты а = 1:
Тогда это уравнение можно записать в виде:
2
2
2
2
y
U
x
U
t
U
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
. (3.55)
Пусть при t = 0 начальное условие записано в виде:
U(x, y, 0)=
ϕ(
x, y). (3.56)
В отличие от волнового уравнения, требующего два начальных условия, в
уравнение теплопроводности входит только первая производная по t, и необ-
ходимо задавать одно начальное условие.
Часто задачи теплопроводности или диффузии, описываемые двумерным
уравнением (3.55), решаются в ограниченной области. Тогда, кроме началь-
ного условия (3.56), нужно формулировать граничные условия. В частности,
если расчетная область представл
яет прямоугольный параллелепипед
Ttyx
≤
≤
≤≤≤≤ 0,10,10
(рис. 33), то нужно задавать граничные ус-
ловия на его боковых гранях. Начальное условие (3.56) задано на нижнем
основании параллелепипеда.
Введем простейшую сетку с ячейками в виде прямоугольных параллеле-
пипедов, для чего проведем три семейства плоскостей:
).,,1,0(,
),,,1,0(,
),,,1,0(,
2
1
lkkt
mjhjy
nihix
k
j
i
K
K
K
=⋅=
=⋅=
=
⋅
=
τ
х
t
Рис. 33. Расчетная область
0
y
1
1
T
90
Значения сеточной функции в узле
kji
tyx ,, обозначим символом
k
ij
u .
Используя эти значения, можно построить разностные схемы для уравнения
(3.55). Рассмотренные выше схемы легко обобщаются на двумерный случай.
Построим явную разностную схему, шаблон которой изображен на рис.34.
Аппроксимируя производные отношениями конечных разностей, получа-
ем следующее сеточное уравнение:
2
2
1,1,
2
1
,1,1
1
22
h
uuu
h
uuuuu
k
ji
k
ij
k
ji
k
ji
k
ij
k
ji
k
ij
k
ij −+−+
+
+−
+
+−
=
−
τ
.
Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на
k+1-м слое:
)()()221(
1,1,2,1,1121
1 k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ij
k
ij
uuuuuu
−+−+
+
++++−−=
λλλλ
,
2
22
2
11
/,/ hh
τλτλ
== . (3.57)
Условие устойчивости имеет вид:
2/1//
2
2
2
121
≤+=+ hh
ττλλ
. (3.58)
При
2/1
21
=
+
λ
λ
получается особенно простой вид схемы:
)()(
1,1,2,1,11
1 k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ij
uuuuu
−+−+
+
+++=
λλ
. (3.59)
Полученная схема сходится
со скоростью O(
τ
2
2
2
1
, hh ).
Рис. 34. Шаблон двумерной схемы.
i, j, k
i , j, k +1
i , j+1, k
i +1, j, k
i , j-1, k
i -1, j, k
Перейдем к построению разностных схем для уравнения теплопроводно- Значения сеточной функции в узле xi , y j , t k обозначим символом u ij .
k
сти с двумя пространственными переменными. Положим для простоты а = 1:
Используя эти значения, можно построить разностные схемы для уравнения
Тогда это уравнение можно записать в виде:
(3.55). Рассмотренные выше схемы легко обобщаются на двумерный случай.
∂U ∂ 2U ∂ 2U Построим явную разностную схему, шаблон которой изображен на рис.34.
= 2 + 2 . (3.55)
∂t ∂x ∂y i , j, k +1
Пусть при t = 0 начальное условие записано в виде:
U(x, y, 0)= ϕ(x, y). (3.56) i , j+1, k
В отличие от волнового уравнения, требующего два начальных условия, в
уравнение теплопроводности входит только первая производная по t, и необ-
ходимо задавать одно начальное условие.
Часто задачи теплопроводности или диффузии, описываемые двумерным
уравнением (3.55), решаются в ограниченной области. Тогда, кроме началь- i -1, j, k i, j, k i +1, j, k
ного условия (3.56), нужно формулировать граничные условия. В частности,
если расчетная область представляет прямоугольный параллелепипед i , j-1, k
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T (рис. 33), то нужно задавать граничные ус-
Рис. 34. Шаблон двумерной схемы.
ловия на его боковых гранях. Начальное условие (3.56) задано на нижнем
Аппроксимируя производные отношениями конечных разностей, получа-
основании параллелепипеда.
ем следующее сеточное уравнение:
t uijk +1 − uijk uik+1, j − 2uijk + uik−1, j uik, j +1 − 2uijk + uik, j −1
= + .
T τ h12 h22
y
Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на
k+1-м слое:
1
u ijk +1 = (1 − 2λ1 − 2λ 2 )u ijk + λ1 (u ik+1, j + u ik−1, j ) + λ 2 (u ik, j +1 + u ik, j −1 ) ,
0 1 х
Рис. 33. Расчетная область
λ1 = τ / h12 , λ 2 = τ / h22 . (3.57)
Условие устойчивости имеет вид:
Введем простейшую сетку с ячейками в виде прямоугольных параллеле-
пипедов, для чего проведем три семейства плоскостей: λ1 + λ 2 = τ / h12 + τ / h22 ≤ 1 / 2 . (3.58)
xi = i ⋅ h1, (i = 0, 1,K, n), При λ 1 + λ 2 = 1 / 2 получается особенно простой вид схемы:
y j = j ⋅ h2 , ( j = 0, 1,K, m), u ijk +1 = λ1 (u ik+1, j + u ik−1, j ) + λ 2 (u ik, j +1 + u ik, j −1 ) . (3.59)
tk = k ⋅ τ , (k = 0, 1,K, l ). Полученная схема сходится со скоростью O( h1 , h2 τ ).
2 2
89 90
