ВУЗ:
Составители:
77
()
()
()
1
2
2
2
33 12 23 13 33 22 23
() ()
2,
k
kk
dv t
du t dv t
gg gg gg g
dt dt dt
−
+− +−
()
()
()
2
33 11 13
2
2
33 12 13 23 33 11 13
()
(0)
1
() ()
k
kk
du t
dv
gg g
ds dt
dv t du t
gg gg gg g
dt dt
σ
Γ
=−+
+− − +
m
(2.15)
()
()
()
1
2
2
2
33 12 23 13 33 22 23
() ()
2.
k
kk
dv t
du t dv t
gg gg gg g
dt dt dt
−
+− +−
()
()
()
()
()
13 12 23 11
2
2
13 22 23 12 33 11 13
1
2
2
2
33 12 23 13 33 22 23
()
(0)
1
() ()
() () ()
2.
k
kk
kk k
du t
dw
gg gg
ds dt
dv t du t
gg gg gg g
dt dt
du t dv t dv t
gg gg gg g
dt dt dt
σ
Γ
−
=± − +
+− − +
+− +−
В формулах (2.15) частные производные функции
(,, )ruvw
r
и значение функции
σ
берутся в точке М, т.е. при
()
k
uut= ,
(
)
k
vvt= ,
()
k
wwt= , а две возможности
распределения знаков зависят от того, по какую сторону от
кривой намотки берутся положительные значения
δ
или, что то
же самое, положительные значения s.
Если найдем решение
()
us
Γ
,
(
)
vs
Γ
,
(
)
ws
Γ
системы
уравнений (2.4), удовлетворяющее начальным условиям (2.15), и
подставим в него значение s
δ
= , то получим уравнение
геодезической параллели к кривой намотки, соответствующей
этому
δ
, а именно:
(
)
(
)
,
n
ut u
δ
δ
Γ
= ,
() ()
,
n
vt v
δ
δ
Γ
= ,
(
)
(
)
,
n
wt w
δ
δ
Γ
=
и
78
(, ) ( (, ), (, ), (, )).
пппп
rt rut vt wt
δ
δδ δ
=
rr
(2.16)
Нетрудно заметить, что полученная модель является
обобщением известной “ленточной” модели укладки
армирующего материала на поверхность оправки [50, 53].
Действительно, если присвоить
i
ww
=
, то из (2.4) получим
уравнения геодезической линии на поверхности (,, )
i
ruvw
r
:
22
2
11 1
11 12 22
2
22
2
22 2
11 12 22
2
20,
20.
d u du du dv dv
ds ds ds ds
ds
d v du du dv dv
ds ds ds ds
ds
ΓΓ ΓΓ Γ
ΓΓ ΓΓ Γ
+
Γ+Γ +Γ=
+
Γ+Γ +Γ=
(2.17)
Тогда выражения (2.6) для вычисления символов Кристоффеля
принимают следующий вид
1
11 12 11
11 22 12 12
2
11
11 22
12 21 22 12
2
1
22 12 22
22 22 22 12
2
2
11 12 11
11 12 11 11
2
22
2
12 21 11
2
1
2,
2
1
,
2
1
2,
2
1
2,
2
1
2
ggg
ggg
uuv
gg
gg
vu
ggg
ggg
uvv
ggg
ggg
uuv
g
g
σ
σ
σ
σ
σ
∂∂∂
Γ= − +
∂∂∂
∂∂
Γ=Γ= −
∂∂
∂∂∂
Γ=− − +
∂∂∂
∂∂∂
Γ=− − +
∂∂∂
∂
Γ=Γ=
211
12
2
22 12 22
22 12 12 11
2
,
1
2,
2
g
g
uv
ggg
ggg
uvv
σ
∂
−
∂∂
∂∂∂
Γ= − +
∂∂∂
(2.18)
где
2
11 22 12
g
gg
σ
=−.
Начальные условия (2.15) будут выражаться следующим
образом:
(
)
(
)
0
k
uut
Γ
= ,
(
)
(
)
0
k
vvt
Γ
=
и
r r
−
1
rп (t , δ ) = r (uп (t , δ ), vп (t , δ ), wп (t , δ )). (2.16)
dvk ( t )
2 2
du (t ) dvk (t )
+2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + ( g33 g 22 − g 23
2
) dt , Нетрудно заметить, что полученная модель является
dt dt обобщением известной “ленточной” модели укладки
армирующего материала на поверхность оправки [50, 53].
dvΓ (0) 1 du (t )
= m ( g33 g11 − g132 ) k + Действительно, если присвоить w = wi , то из (2.4) получим
ds σ dt уравнения геодезической линии на поверхности r (u , v, wi ) :
r
(2.15)
dvk (t )
2
2 duk (t )
2 2
+ ( g33 g12 − g13 g 23 ) ( g33 g11 − g13 ) +
d 2 uΓ du du dv
+ Γ111 Γ + 2Γ112 Γ Γ
1 dvΓ
dt dt 2 + Γ 22 ds = 0,
ds ds ds ds
1 2 2
(2.17)
− d 2 vΓ 2 duΓ 2 duΓ dvΓ 2 dvΓ
dvk ( t )
2 2
duk (t ) dvk (t ) + Γ11 + 2Γ12 ds ds + Γ 22 ds = 0.
+2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) + ( g33 g 22 − g 23
2
) . ds 2 ds
dt dt dt Тогда выражения (2.6) для вычисления символов Кристоффеля
dwΓ (0) 1 du (t ) принимают следующий вид
= ± ( g13 g12 − g 23 g11 ) k +
ds σ dt 1 ∂g11 ∂g ∂g
Γ111 = g
2 22
− 2 g12 12 + g12 11 ,
2σ ∂u ∂u ∂v
dvk (t )
2
2 duk (t )
+ ( g13 g 22 − g 23 g12 ) ( g33 g11 − g13 ) + 1 ∂g11 ∂g
dt dt Γ112 = Γ121 = g
2 22
− g12 22 ,
2σ ∂v ∂u
1
−
du (t ) dvk (t ) 2 dvk (t )
2
2
1 ∂g ∂g ∂g
+2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + ( g33 g 22 − g 23 ) dt . Γ122 = − 2 g 22 22 − 2 g 22 12 + g12 22 ,
dt dt 2σ ∂u ∂v ∂v
(2.18)
В формулах (2.15) частные производные функции 1 ∂g ∂g ∂g
r Γ = − 2 g12 11 − 2 g11 12 + g11 11 ,
2
11
r (u , v, w) и значение функции σ берутся в точке М, т.е. при 2σ ∂u ∂u ∂v
u = uk ( t ) , v = vk ( t ) , w = wk ( t ) , а две возможности 1 ∂g 22 ∂g
Γ12
2
= Γ 221 = g
2 11
− g12 11 ,
распределения знаков зависят от того, по какую сторону от 2σ ∂u ∂v
кривой намотки берутся положительные значения δ или, что то 1 ∂g 22 ∂g ∂g
же самое, положительные значения s. Γ 222 = g
2 12
− 2 g12 12 + g11 22 ,
2σ ∂u ∂v ∂v
Если найдем решение uΓ ( s ) , vΓ ( s ) , wΓ ( s ) системы
уравнений (2.4), удовлетворяющее начальным условиям (2.15), и где σ = g11 g 22 − g122 .
подставим в него значение s = δ , то получим уравнение Начальные условия (2.15) будут выражаться следующим
геодезической параллели к кривой намотки, соответствующей образом:
этому δ, а именно:
uΓ ( 0 ) = uk ( t ) , vΓ ( 0 ) = vk ( t )
un ( t , δ ) = uΓ (δ ) , vn ( t , δ ) = vΓ (δ ) , wn ( t , δ ) = wΓ (δ )
и
и
77 78
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
