ВУЗ:
Составители:
73
где
22 2
11 22 33 11 23 12 33 12 13 23 13 22
2
g
gg gg gg ggg gg
σ
=−−+−.
Символы Кристоффеля (2.5) алгоритмически просто могут
быть вычислены по формулам:
[]
(
)
[]
()
[]
()
(
)
2
123 23123 32123
1
2
123
, , , , ,, , , ,, ,
,
,,
ij
ij
r r rr r rr rr r rr rr
rrr
++
Γ=
r r rr r rr rr r rr rr
rr r
(2.6)
[]
()
[]
(
)
[]
()
(
)
2
13123 2 13 31123
2
2
123
,,,,, ,, ,,,,
,
,,
ij
ij
rrrrrr rrr rrrrr
rrr
++
Γ=
rrrrrr rrr rrrrr
rr r
[] []
()
[]
(
)
(
)
2
12123 21123 312
3
2
123
,, ,,, ,,,, ,,
,
,,
ij
ij
r r rr rr r rr rr r rr
rrr
++
Γ=
r r rr rr r rr rr r rr
rr r
где ,1,2,3ij= (квадратные скобки обозначают векторное
произведение двух векторов, угловые скобки – смешанное
произведение трех векторов [79]).
Геодезическая должна проходить через точку М и должна
быть перпендикулярна к кривой намотки, т.е.
(0) ( ),
k
rrt
Γ
=
rr
()
(0)
,0
k
dr t
dr
ds dt
Γ
=
r
r
, (2.7)
и
(0)
,0.
dr
dr
ds dw
Γ
=
r
r
Фактически эти равенства представляют собой начальные
условия для системы дифференциальных уравнений (2.4). Их
можно переписать в явном виде для неизвестных функций
()
us
Γ
,
()
vs
Γ
,
(
)
ws
Γ
. Так как
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,rs ru svsws
ΓΓΓΓ
=
rr
и
(
)()()
(
)
(
)
,,
kkkk
rt rutvtwt=
rr
, то
первое условие в (2.7) приводит нас к равенствам
74
(
)
(
)
0
k
uut
Γ
= ,
(
)
(
)
0
k
vvt
Γ
= ,
(
)
(
)
0
k
wwt
Γ
= .
Второе условие с учетом того, что
123
dr du dv dw
rrr
ds ds ds ds
Γ
ΓΓ Γ
=++
r
rrr
дает
123
() () ()
(0) (0) (0)
,,,0
kkk
dr t dr t dr t
du dv dw
rrr
dt ds dt ds dt ds
ΓΓ Γ
+
+=
rrr
rrr
. (2.8)
Третье условие с учетом определения (2.3) коэффициентов
квадратичной формы тела оболочки позволяет нам записать
13 23 33
(0) (0) (0)
0.
du dv dw
ggg
ds ds ds
ΓΓ Γ
+
+=
(2.9)
Так как
1
dr
ds
Γ
=
r
, то, возводя это равенство в квадрат, имеем с
учетом определения коэффициентов первой квадратичной
формы тела (2.3)
22
11 12 22
2
13 23 33
(0) (0) (0) (0)
2
(0)(0) (0)(0) (0)
22 1.
du du dv dv
gg g
ds ds ds ds
du dw dv dw dw
ggg
ds ds ds ds ds
ΓΓΓΓ
ΓΓ ΓΓ Γ
+++
++ +=
(2.10)
Выразим из (2.9)
(0)dw
ds
Γ
через
(0)du
ds
Γ
и
(0)dv
ds
Γ
13 23
33
(0) (0)
(0)
.
du dv
gg
dw
ds ds
ds g
ΓΓ
Γ
−+
=
(2.11)
Подставляя это выражение в (2.8), можно выразить
(0)dv
ds
Γ
через
(0)du
ds
Γ
где σ = g11 g 22 g33 − g11 g 23 2
− g122 g33 + 2 g12 g13 g 23 − g132 g 22 . uΓ ( 0 ) = uk ( t ) , vΓ ( 0 ) = vk ( t ) , wΓ ( 0 ) = wk ( t ) .
Символы Кристоффеля (2.5) алгоритмически просто могут Второе условие с учетом того, что
r
быть вычислены по формулам: drΓ r duΓ r dvΓ r dwΓ
= r1 + r2 + r3
( (
r r r r 2
) (
r r r r r r r r r r
) (
rij , r1 , [ r2 , r3 ] + r2 , r3 , r1 , [ r2 , r3 ] + r3 , r2 , r1 , [ r2 , r3 ] )) дает
ds ds ds ds
Γ1ij = r r r 2 , r r r
r1 , r2 , r3 r drk (t ) duΓ (0) r drk (t ) dvΓ (0) r drk (t ) dwΓ (0)
r1 , dt ds + r2 , dt ds + r3 , dt ds = 0 . (2.8)
(2.6)
( ( ) ))
Третье условие с учетом определения (2.3) коэффициентов
(
r r r r r r
) r r r 2
(
r r r r r
rij , r1 , r3 , r1 , [ r2 , r3 ] + r2 , [ r1 , r3 ] + r3 , r1 , r1 , [ r2 , r3 ] квадратичной формы тела оболочки позволяет нам записать
Γij2 = r r r 2
, du (0) dv (0) dw (0)
r1 , r2 , r3 g13 Γ + g23 Γ + g33 Γ = 0. (2.9)
ds ds ds
( ( )) ,
r
2 (
rr , rr , rr , rr , rr , rr + rr , rr , rr , rr , rr
ij 1 2 1 [ 2 3 ] 1 1 [ 2 3]
r r r 2
)
+ r3 , [ r1 , r2 ] Так как
drΓ
= 1 , то, возводя это равенство в квадрат, имеем с
Γij3 = r r r 2 ds
r1 , r2 , r3 учетом определения коэффициентов первой квадратичной
где i, j = 1, 2, 3 (квадратные скобки обозначают векторное формы тела (2.3)
2 2
произведение двух векторов, угловые скобки – смешанное duΓ (0) duΓ (0) dvΓ (0) dvΓ (0)
произведение трех векторов [79]).
g11 + 2g12 ds + g22 +
ds ds ds
Геодезическая должна проходить через точку М и должна 2
(2.10)
быть перпендикулярна к кривой намотки, т.е. duΓ (0) dwΓ (0) dvΓ (0) dwΓ (0) dwΓ (0)
r r +2g13 + 2g23 + g33 = 1.
rΓ (0) = rk (t ), ds ds ds ds ds
r r
drΓ (0) drk (t ) dwΓ (0) duΓ (0) dv (0)
ds , dt = 0 , (2.7) Выразим из (2.9) через и Γ
ds ds ds
r r duΓ (0) dvΓ (0)
drΓ (0) dr − g13 + g23
и ds , dw = 0.
dwΓ (0) ds ds
= . (2.11)
Фактически эти равенства представляют собой начальные ds g33
условия для системы дифференциальных уравнений (2.4). Их dv (0)
можно переписать в явном виде для неизвестных функций Подставляя это выражение в (2.8), можно выразить Γ через
ds
uΓ ( s ) , vΓ ( s ) , wΓ ( s ) . Так как duΓ (0)
rΓ ( s ) = r ( uΓ ( s ) , vΓ ( s ) , wΓ ( s ) )
r r
ds
и
rk ( t ) = r ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) , то
r r
первое условие в (2.7) приводит нас к равенствам
73 74
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
