ВУЗ:
Составители:
157
плоскости могут служить точки M
1
, Р
1
, S
1
, а для второй
плоскости − M
2
, Р
2
, и S
2
. Если знать координаты этих точек в
предметной системе координат, то сможем определить
положение прямой в трехмерном пространстве. Метод
определения указанных точек описан в следующем разделе.
Далее определяем параметры прямой, задающей
положение в пространстве средней нити ленты по двум
заданным ее проекциям. Как видно из рисунка 4.1, точки M
1
, Р
1
,
и S
1
задают плоскость. Уравнение этой плоскости можно
записать в виде
(
)
11
,0Nr D+=
r
r
, (4.3)
где
(
)
1111
,,
T
xyz
NNNN=
r
- вектор нормали к плоскости.
Компоненты этого вектора равны:
11
11
11
1
1
1
1
MM
xPP
SS
yz
Nyz
yz
=
,
11
11
11
1
1
1
1
MM
yPP
SS
zx
Nzx
zx
=
,
11
11
11
1
1
1
1
MM
zPP
SS
xy
Nxy
xy
=
,
111
111
111
1
MMM
PPP
SSS
xyz
D
xyz
x
yz
=−
.
Точки M
1
, Р
1
, и S
1
задают вторую плоскость. Уравнение
этой плоскости имеет вид
(
)
22
,0Nr D+=
r
r
, (4.4)
где
(
)
2222
,,
T
xyz
NNNN=
r
,
22
22
22
2
1
1
1
MM
xPP
SS
yz
Nyz
yz
=
,
22
22
22
2
1
1
1
MM
yPP
SS
zx
Nzx
zx
=
,
158
22
22
22
2
1
1
1
MM
zPP
SS
xy
Nxy
xy
=
,
222
222
222
2
MMM
PPP
SSS
xyz
Dxyz
xyz
=−
.
Два независимых уравнения
(
)
()
11
22
,0,
,0,
Nr D
Nr D
+
=
+
=
r
r
r
r
при условии
12
,0NN
≠
rr
определяют искомую прямую как
пересечение двух плоскостей. Уравнение полученной прямой
удобно представить в параметрической форме
(
)
0p
rt r lt
=
+
r
rr
, (4.5)
где
12
,lNN
=
r
rr
− направляющий вектор прямой. Компоненты
вектора в точке
0
r
r
можно определить из решения системы
уравнений
(
)
()
()
1
11
22
,0,
,0,
0.
S
Nr D
Nr D
lr r
+
=
+
=
−=
r
r
r
r
r
rr
(4.6)
Остается определить точку касания пространственной
прямой с поверхностью оправки. Решение этой задачи
несколько усложняется тем, что нужно учитывать три
возможных случая: пересечения, касания и прохождения прямой
вблизи поверхности (рис. 4.2). Очевидно предположить, что
точка касания прямой должна принадлежать касательной
плоскости к поверхности оправки, причем параллельной
заданной прямой. Для этого запишем уравнение нормали к
поверхности оправки
(
)
1n
rt r Nt=+
r
rr
, (4.7)
где
[
]
[]
,
,
uv
uv
rr
N
rr
′
′
=
′
′
rr
r
rr
− вектор нормали к поверхности.
плоскости могут служить точки M1, Р1, S1, а для второй xM 2 yM 2 1 xM 2 yM 2 zM 2
плоскости − M2, Р2, и S2. Если знать координаты этих точек в
предметной системе координат, то сможем определить N 2 z = xP2 yP2 1 , D2 = − xP2 yP2 z P2 .
положение прямой в трехмерном пространстве. Метод
xS2 yS2 1 xS2 yS2 zS2
определения указанных точек описан в следующем разделе.
Далее определяем параметры прямой, задающей Два независимых уравнения
r r
положение в пространстве средней нити ленты по двум ( )
N1 , r + D1 = 0,
заданным ее проекциям. Как видно из рисунка 4.1, точки M1, Р1, r r
и S1 задают плоскость. Уравнение этой плоскости можно ( )
N 2 , r + D2 = 0,
записать в виде r r
r r при условии N1 , N 2 ≠ 0 определяют искомую прямую как
( )
N1 , r + D1 = 0 , (4.3)
пересечение двух плоскостей. Уравнение полученной прямой
r
где N1 = ( N1x , N1 y , N1z ) - вектор нормали к плоскости.
T
удобно представить в параметрической форме
r r r
rp ( t ) = r0 + lt , (4.5)
Компоненты этого вектора равны:
r r r
y M1 z M1 1 z M1 xM1 1 где l = N1 , N 2 − направляющий вектор прямой. Компоненты
r
N1x = yP1 z P1 1 , N1 y = z P1 xP1 1 , вектора в точке r0 можно определить из решения системы
уравнений
yS1 zS1 1 zS1 xS1 1 r
xM1 yM1 1 xM 1 yM1 z M1
( )
N1 , rr + D1 = 0,
r
N1z = xP1
yP1 1 , D1 = − xP1
yP1 z P1 . ( )
r
N 2 , r + D2 = 0, (4.6)
r r r
xS1 yS1 1
xS1 yS1 zS1
( )
l r − rS1 = 0.
Точки M1, Р1, и S1 задают вторую плоскость. Уравнение Остается определить точку касания пространственной
этой плоскости имеет вид прямой с поверхностью оправки. Решение этой задачи
r r
( )
N 2 , r + D2 = 0 , (4.4) несколько усложняется тем, что нужно учитывать три
возможных случая: пересечения, касания и прохождения прямой
r
где N 2 = ( N 2 x , N 2 y , N 2 z ) ,
T
вблизи поверхности (рис. 4.2). Очевидно предположить, что
точка касания прямой должна принадлежать касательной
yM 2 zM 2 1 zM 2 xM 2 1 плоскости к поверхности оправки, причем параллельной
заданной прямой. Для этого запишем уравнение нормали к
N2 x = yP2 z P2 1 , N 2 y = z P2 xP2 1 ,
поверхности оправки
1 1 r r r
yS2 z S2 zS2 xS2 rn ( t ) = r1 + Nt , (4.7)
r r
r [ ru′, rv′]
где N = r r − вектор нормали к поверхности.
[ ru′, rv′]
157 158
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
