Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
3.5 Волновой пакет в диспергирующей среде
До сих пор мы рассматривали распространение монохроматических волн .
Однако строго монохроматических волн в природе не существует . Для того
чтобы передать посредством волн какую - либо информацию , т.е. передать энер-
гию , необходимо промодулировать волну. В линейном приближении модули-
рованную волну (или сигнал с конечной шириной спектра ) можно представить
в виде суперпозиции гармонических плоских волн . В среде без дисперсии ско-
рости различных частотных составляющих сигнала одинаковы , поэтому сигнал
распространяется без изменения своей формы. В диспергирующей среде ско-
рость распространения различных частотных компонент различна . Это приво -
дит к изменению разности фаз между составляющими спектра сигнала и к
изменению его формы . Скорость распространения сигнала может существен -
ным образом отличаться от фазовой скорости отдельных гармонических ком -
понент, и поэтому само понятие «скорость сигнала» в диспергирующей среде
должно быть уточнено.
Изучим закономерности распространения в диспергирующей среде пло-
ских немонохроматических волн , бегущих в направлении оси z. Такие волны
могут возбуждаться или на границе среды (например, источником , располо-
женным при z=0), или путём создания в начальный момент времени некоторо -
го пространственно-распределённого возмущения. Мы рассмотрим только
граничную задачу.
Пусть диспергирующая среда занимает полупространство
0
≥
z
и на её
границе задан входной сигнал
(
)
(
)
tuztu
0
0,
=
=
,
который имеет частотный спектр
() ()
∫
∞
∞−
= dtetuF
tj ω
π
ω
2
1
0
.
Так как спектральные компоненты распространяются в линейной среде незави-
симо друг от друга , то решение волнового уравнения можно представить в виде
суперпозиции гармонических волн
()()()[]{}
ωωωω dzktjFtzu −−=
∫
∞
∞−
exp, .
Если подставить сюда выражение для спектра , то можно представить искомое
решение через поле на границе 
                                                 28


             3.5 В олн овойп аке
                               т в ди с пе
                                         р ги р ую щ е
                                                     йс р е
                                                          де

       Д о сих пормы ра ссма трива ли распространениемонохрома тических волн.
О дна ко строго монохрома тических волн в природене сущ ествует. Д ля того
чтобы переда тьпосредством волн ка кую -либо информа ц ию , т.е. переда тьэнер-
гию , необходимо промодулирова ть волну. В линей ном приближ ении модули-
рова нную волну (или сигна л с конечной ш ириной спектра ) мож но предста вить
в видесуперпозиц ии га рмонических плоских волн. В средебез дисперсии ско-
рости различны х ча стотны х соста вляю щ их сигна ла одина ковы , поэтому сигна л
ра спростра няется без изменения своей формы . В диспергирую щ ей средеско-
рость распространения различны х ча стотны х компонент ра злична . Э то приво-
дит к изменению разности фа з меж ду соста вляю щ ими спектра сигна ла и к
изменению его формы . Скорость распространения сигна ла мож ет сущ ествен-
ны м образом отлича ться от фа зовой скорости отдельны х га рмонических ком-
понент, и поэтому са мо понятие« скорость сигна ла » в диспергирую щ ей среде
долж но бы тьуточнено.
       И зучим за кономерности распространения в диспергирую щ ей средепло-
ских немонохрома тических волн, бегущ их в на правлении оси z. Т а киеволны
могут возбуж да ться или на гра ниц есреды (на пример, источником, располо-
ж енны м при z=0), или путё м созда нияв на ча льны й момент времени некоторо-
го пространственно-распределё нного возмущ ения. М ы ра ссмотрим только
гра ничную за да чу.
       П усть диспергирую щ а я среда за нима ет полупростра нство z ≥ 0 и на её
гра ниц еза да н входной сигна л

                                           u (t , z = 0 ) = u 0 (t ) ,

которы й имеетча стотны й спектр
                                                 ∞
                                            1
                                F (ω ) =          ∫ u0 (t ) e
                                                                jωt
                                                                      dt .
                                           2π   −∞
Т а к ка к спектральны екомпоненты ра спространяю тся в линейной среденеза ви-
симо друг отдруга , то реш ениеволнового уравнениямож но предста витьввиде
суперпозиц иига рмонических волн

                                    ∞
                     u ( z, t ) =   ∫ F (ω ) exp{− j[ωt − k (ω )z]}dω .
                                    −∞


Е сли подста вить сю да вы раж ениедля спектра , то мож но предста вить искомое
реш ениечерез полена гра ниц е

Страницы