Распространение волн в диспергирующих средах. Аверина Л.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
() ()()()[]{}
' 'exp'
2
1
,
0
tddzkttjtutzu
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−−−= ωωω
π
. (3.6)
В теории передачи сигналов важное место занимают вопросы распро -
странения волновых пакетов. Волновой пакет – это квазимонохроматический
сигнал с узким частотным спектром . Выделяя некоторую среднюю частоту сиг -
нала
0
ω
, можно записать высокочастотный импульс в виде
(
)
(
)
tj
etAtu
0
00
ω −
=
&
,
где
(
)
tA
0
&
- комплексная медленно изменяющаяся функция:
00
0
A
dt
Ad
&
&
ω<<
. Так
как ширина частотного спектра волнового пакета
0
ω
ω
<<
∆
, то в пределах
спектральной линии излучения можно описать зависимость волнового числа от
частоты , разложив в ряд дисперсионное соотношение:
()() () ()
...
2
1
2
0
2
2
000
0
0
+−
+−
+= ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
ω
d
kd
d
dk
kk (3.7)
Принимая во внимание (3.6) и (3.7), можно написать выражение для поля вол-
нового пакета в виде:
(
)
(
)
(
)
[
]
tzkjtzAtzu
00
exp,, ω −=
&
,
где
() ()
()
()
()
ω
+ω−ω
ω
+
+ω−ω
ω
−−−
π
=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
d
d
kd
z
j
z
d
dk
ttj
dttAtzA
...
2
'
exp''
2
1
,
2
0
2
2
0
0
&&
(3.8)
Учёт различных членов в разложении (3.7) соответствует различным прибли -
жениям теории дисперсии. На рис .3 точный закон дисперсии
(
)
ω
k изображён
кривой 1; кривая 2 – это квадратичная аппроксимация
(
)
ω
k
. Учёт только ли-
нейного члена в разложении (3.7) приводит к приближению , показанному пря -
мой 3 на рисунке. Прямая 3 наклонена к оси k под углом β , определяемым из
соотношения
(
)
гр
0
tg vk
=
∂
∂
=
ω
ω
, и является касательной к кривым 1 и 2. На-
клон прямой , проведённой в точку касания из начала координат, определяет ве-
личину фазовой скорости:
ф00
tg vk
=
=
ω
α
. 
                                                            29



                             ∞ ∞
           u ( z, t ) =      ∫ ∫ u0 (t ') exp{− j[ω(t − t ') − k (ω )z]}dω dt ' .
                         1
                                                                                              (3.6)
                        2π   −∞ −∞

       В теории переда чи сигна лов ва ж ноеместо за нима ю т вопросы распро-
странения волновы х па кетов. В олновой па кет – это ква зимонохрома тический
сигна л с узким ча стотны м спектром. В ы деляянекоторую средню ю ча стоту сиг-
на ла ω0 , мож но за писа тьвы сокоча стотны й импульс ввиде

                                                   u0 (t ) = A&0 (t ) e − jω 0 t ,
                                                                              dA& 0
где A& 0 (t ) - комплексна я медленно изменяю щ а яся функц ия:                     << ω0 A& 0 . Т а к
                                                                               dt
ка к ш ирина ча стотного спектра волнового па кета ∆ω << ω0 , то в предела х
спектральной линии излучениямож но описа тьза висимость волнового числа от
ча стоты , ра злож иввряд дисперсионноесоотнош ение:
                             dk             1  d 2 k 
      k (ω ) = k 0 (ω 0 ) +      (ω − ω0 ) +               (ω − ω 0 )2 + ...        (3.7)
                             dω ω 0         2  dω  2
                                                            ω0

П ринима я во внима ние(3.6) и (3.7), мож но на писа ть вы ра ж ениедля поля вол-
нового па кета ввиде:

                                     u (z , t ) = A& ( z , t )exp[ j (k 0 z − ω 0t )] ,




                           ∞               ∞
                                                  
                                                   −
                                                   j (t − t ' ) −
                                                                    dk 
                                                                      z
                                                                    dω 
                                                                          ω − ω  +
                                                                                   
                                                                                     (   )
                                                                             0
                                                                                   
            A(z , t ) =       A0 (t ')dt ' ∫ exp 
                         1
где
            &
                            ∫
                        2π −∞
                              &                                                    dω            (3.8)
                                                                          (          )
                                                           2
                                          −∞     + j z d k ω − ω 2 + ...          
                                                  2 dω2              0           

У чё т различны х членов в разлож ении (3.7) соответствует различны м прибли-
ж ениям теории дисперсии. Н а рис.3 точны й за кон дисперсии k (ω ) изображ ё н
кривой 1; крива я 2 – это ква дратична я а ппроксима ц ия k (ω ) . У чё т только ли-
ней ного члена в ра злож ении (3.7) приводит к приближ ению , пока за нному пря-
мой 3 на рисунке. П ряма я 3 на клонена к оси k под углом β, определяемы м из
соотнош ения tg β = (∂ω ∂k )ω 0 = vгр, и являетсяка са тельной к кривы м 1 и 2. Н а -
клон прямой, проведё нной вточку ка са нияиз на ча ла координа т, определяет ве-
личинуфа зовой скорости: tg α = ω0 k0 = vф .

Страницы