Теория колебаний. Аверина Л.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Запишем укороченное уравнение для автоколебаний в общей форме
)A(F
d
dA
=
τ
и будем считать, что F(А) имеет стационарные значения в точках:
А
О
, А
1
, А
2
,…., А
N
,… . Допустим, что амплитуда А
N
получила малое прира-
щение
ε
от своего значения A=A
N
+ε.
Подставим эту амплитуду в укорочен-
ное уравнение и разложим правую часть в ряд Тейлора. В силу малости
ε
ог-
раничимся двумя первыми членами разложения в ряд Тейлора. Первый член
ряда равен нулю (стационарный режим) и уравнение легко интегрируется.
0)A(F ;)A('F...)A("F
!2
1
)A('F)A(F
dt
d
NN
2
NNN
=ε≈+ε+ε+=
ε
После интегрирования имеем
])A('Fexp[C
N
τ=ε
Отсюда следует, что, если F'>0, что при
τ→∞
величина
ε→∞
и точка с ам-
плитудой A
N
оказывается неустойчивой. Если же F' <0, то с течением време-
ни автоколебательная система возвратится в стационарное состояние А
N
.
Итак, математическое условие устойчивости стационарной амплиту-
ды имеет вид:
F'(А
N
)<0
. В математике это условие минимума функции.
Условие устойчивости для мягкого и жесткого режимов иллюстрирует-
ся рис.9 (графики построены для М=М
2
). Точки пересечения с осью А дают
значения стационарных амплитуд. Из рисунка видно, что точки устойчивы,
когда dA/d
τ
убывает, т.е. вторая производная имеет отрицательный знак.
Рис. 9.
2.7. Влияние запаздывания на колебания.
До сих пор мы полагали, что ток, протекающий по транзистору, совпа-
дает по фазе с напряжением на управляющем электроде и в цели обратной
связи запаздывание сигнала о тсутствует. На самом деле это имеет место на
очень низких частотах. При работе транзистора на частотах, близких к пре-
дельной частоте, запаздывание тока коллектора от напряжения на базе может
достигать величин порядка 120° - 150
о
. Это может существенно изменить ба-
ланс фаз и амплитуд. В некоторых случаях приходится существенно изме-
нять принципиальную схему автогенератора, чтобы выполнялись условия
самовозбуждения. Для теории колебаний математическая сторона описания 
                                   18

     Запишем укороченное уравнение для автоколебаний в общей форме
dA
    =F(A) и будем считать, что F(А) имеет стационарные значения в точках:
 dτ
АО, А1, А2, ., АN, . Допустим, что амплитуда АN получила малое прира-
щение ε от своего значения A=AN+ε. Подставим эту амплитуду в укорочен-
ное уравнение и разложим правую часть в ряд Тейлора. В силу малости ε ог-
раничимся двумя первыми членами разложения в ряд Тейлора. Первый член
ряда равен нулю (стационарный режим) и уравнение легко интегрируется.
       dε                       1
          =F(A N ) +F' (A N )ε + F" (A N )ε2 +... ≈F' (A N )ε; F(A N ) =0
       dt                       2!
После интегрирования имеем
                               ε =C exp[F' (A N )τ]
Отсюда следует, что, если F'>0, что при τ→ ∞ величина ε→ ∞ и точка с ам-
плитудой AN оказывается неустойчивой. Если же F' <0, то с течением време-
ни автоколебательная система возвратится в стационарное состояние АN.
      Итак, математическое условие устойчивости стационарной амплиту-
ды имеет вид: F'(АN)<0. В математике это условие минимума функции.
      Условие устойчивости для мягкого и жесткого режимов иллюстрирует-
ся рис.9 (графики построены для М=М2). Точки пересечения с осью А дают
значения стационарных амплитуд. Из рисунка видно, что точки устойчивы,
когда dA/dτ убывает, т.е. вторая производная имеет отрицательный знак.




                                  Рис. 9.
                2.7. Влияние запаздывания на колебания.
      До сих пор мы полагали, что ток, протекающий по транзистору, совпа-
дает по фазе с напряжением на управляющем электроде и в цели обратной
связи запаздывание сигнала отсутствует. На самом деле это имеет место на
очень низких частотах. При работе транзистора на частотах, близких к пре-
дельной частоте, запаздывание тока коллектора от напряжения на базе может
достигать величин порядка 120° - 150о. Это может существенно изменить ба-
ланс фаз и амплитуд. В некоторых случаях приходится существенно изме-
нять принципиальную схему автогенератора, чтобы выполнялись условия
самовозбуждения. Для теории колебаний математическая сторона описания

Страницы