Теория колебаний. Аверина Л.И - 21 стр.

                                         21

Будем решать это уравнение методом Ван дер Поля. Сначала приведем его к
стандартной форме, перенеся члены первого порядка малости в правую
часть.
                     d2x           dx               dx                   
                          +x  = −d       +  k oc L I ст (  ) +I o cos ητ 
                     dτ2           dτ               dτ                   
  Для простоты зависимость ICT(z) аппроксимируем кубической параболой:
                                   I ст (z ) =So z −βz 3
Будем искать решение для неавтономной системы в форме вынужденных
колебаний
                          x =A(τ) cos(ητ +ϕ(τ)) =A cos Φ
Теперь преобразуем уравнение (1).
Левая часть:
                     x&+x =[(1 −η2 )A −2Aηϕ
                     &                                &] cos Φ −2A  &η sin Φ =.....
Поскольку члены левой части имеют первый порядок величины малости, в
правую часть мы должны подставлять величины нулевого порядка.
                            x =A cos Φ;           x&=-AηsinΦ
Правая часть:
         .... =dAη sin Φ +k ос L[−SAη sin Φ +βA 3η3 sin 3 Φ] +k oc LIo cos ητ
                                                                        3          1
Кубический член содержит первую гармонику sin 3 Φ = sin Φ − sin 3Φ
                                                                        4          4
Отбросив высшие гармоники, мы запишем правую часть уравнения:
                                 3
       .... =[dAη −k oc SLAη + βk oc LA 3 η3 ] sin Φ +k oc LI o cos[Φ −ϕ(τ)];
                                 4
            ητ =ητ +ϕ −ϕ =Φ −ϕ
Теперь нам остается приравнять коэффициенты при cosФ и sinФ левой и пра-
вой частей уравнения.
          &=dηA −k L              3             
   −2ηA                oc SA  η −    βA 3η3 +k oc LIo sin ϕ
                                  4             
   −2Aηϕ&=−(1 −η2 )A +k oc LIo cos ϕ
     Это и есть искомые укороченные уравнения.
                  3.2. Анализ укороченных уравнений.
     Рассмотрим стационарный режим работы автогенератора в синхронном
режиме. В этом случае амплитуда и фаза колебаний не зависят от времени:
A&=0;    &=0 . Запишем уравнения:
         ϕ
                                  3     
                dηA −k oc LSAη − βA 3η3 =−k oc LIo sin ϕ
                                  4     
                (1 −η2 )A =k oc LIo cos ϕ
Обычно область синхронизации лежит вблизи η= 1. Поэтому для анализа
удобно ввести новую переменную - относительную расстройку ε =1-η<<1.
Тогда с точностью до ε2 уравнения принимают следующий вид: