Теория колебаний. Аверина Л.И - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
Введем следующие обозначения:
dt
dU
k
dt
yd
;
dt
dU
k
dt
xd
Uk
dt
dy
;Uk
dt
dx
; dtUky ;dtUkx
LL
L
;
LL
L
;R/Ld ;R/Ld
CL/1 ;CL/1 ;
L
M
k ;t
2
OC
2
2
1
OC
2
2
2OC 1OC2OC1OC
2E2
2E
2
1E1
1E
122E2211E11
22E
2
211E
2
1
1
OC
==
====
+
=α
+
=αω=ω=
=ω=ω=ω=τ
∫∫
где
ω
- частота генерации, а
τ
безразмерное время.
Перепишем уравнение в новых обозначениях.
x
d
dy
dy
d
yd
dt
dx
ILk y
d
dx
dx
d
xd
22
2
2
2
2
2
CT1EOC11
1
2
2
2
1
α+
τω
ω
−=+
τ
ω
ω
ω+α+
τω
ω
−=+
τ
ω
ω
Аппроксимируем ток в рабочей точке кубическим полиномом.
3
31CT
USUSI
−=
Для удобства введем дополнительные обозначения.
1101oc1E11oc
2
2
1
1
3
1
PddKkSLk ;n ;n ;
S
S
==ω
ω
ω
=
ω
ω
==β
где Р - запас усиления.
Теперь исходные уравнения принимают окончательную форму.
x
d
dy
dny
d
yd
n ;y]])
d
dx
(
d
dx
[P
d
dx
[dnx
d
xd
n
222
2
2
2
21
3
11
2
2
2
1
α+
τ
−=+
τ
α+
τ
β−
τ
+
τ
−=+
τ
(1)
5.2. Укороченные уравнения.
В отличие от предыдущего случая мы будем считать, что в схеме реа-
лизуется одночастотный режим генерации. Поэтому решение нам следует
искать в форме двух колебаний с одинаковыми частотами, но разными ам-
плитудами и фазами колебаний.
yx12y
21x
);cos(BcosB)cos(By
);cos(AcosA)cos(Ax
ϕ−ϕ=ϕ∆ϕ∆−Φ=Φ=ϕ+τ=
ϕ
∆+Φ=Φ=
ϕ
+τ=
(2)
∆ϕ
- сдвиг фаз между колебаниями.
Как обычно, амплитуды и фазы колебаний предполагаются медленно
меняющимися величинами.
Правая часть уравнения (1) имеет первый порядок малости (
α
1
;
α
2
; d
1
;
d
2
), поэтому мы имеем право использовать метод Ван дер Поля. Подставляя
(2) в (1), получим: 
                                             31



        Введем следующие обозначения:
                       M
        τ =ωt;   k OC = ; ω12 =1 / L E1C1; ω22 =1 / L E 2C 2
                       L1
                                                           L E1                      LE2
        d1 =ω1L E1 / R1; d 2 =ω2 L E 2 / R 2 ;    α1 =            ;        α2 =
                                                         L1 +L E1                 L 2 +L E 2
                                                  dx                         dy
        x =k OC ∫U1dt;       y =k OC ∫U 2dt ;        =k OC U1 ;                 =k OC U 2
                                                  dt                         dt
        d 2x     dU1    d2y          dU 2
           =k OC     ;        = k OC
      dt 2        dt     dt 2         dt
где ω - частота генерации, а τ безразмерное время.
      Перепишем уравнение в новых обозначениях.
                       2
                  ω  d2x       ω dx                      dx 
                    
                 ω  dτ2  +x =−  d1  +α1 y +k OC ωL   I
                                                     E1 CT     
                  1           ω1 dτ                       dt 
                       2
               ω  d2 y        ω dy
              
              ω  dτ2 +y =−ω d 2 dτ +α 2 x
               2               2
      Аппроксимируем ток в рабочей точке кубическим полиномом.
                             I CT =S1U −S3 U 3
      Для удобства введем дополнительные обозначения.
               S         ω         ω
           β = 1 ; n1 = ; n 2 = ; k oc ω1L E1S1 =k oc K 01d1 =Pd1
               S3        ω1        ω2
где Р - запас усиления.
      Теперь исходные уравнения принимают окончательную форму.
       d2x           dx  dx  dx                                  d2y                   dy
 n12     2
           +x =n1d1[− +P[ −β( ) 3 ]] +α1 y;               n 22     2
                                                                       + y =−n 2 d 2      +α 2 x (1)
       dτ            dτ  dτ  dτ                                  dτ                    dτ

                       5.2. Укороченные уравнения.
      В отличие от предыдущего случая мы будем считать, что в схеме реа-
лизуется одночастотный режим генерации. Поэтому решение нам следует
искать в форме двух колебаний с одинаковыми частотами, но разными ам-
плитудами и фазами колебаний.
   x =A cos(τ +ϕ x ) =A cos Φ1 =A cos(Φ 2 +∆ϕ);
                                                                  (2)
   y =B cos(τ +ϕ y ) =B cos Φ 2 =B cos(Φ1 −∆ϕ); ∆ϕ =ϕ x −ϕ y
                     ∆ϕ - сдвиг фаз между колебаниями.
       Как обычно, амплитуды и фазы колебаний предполагаются медленно
меняющимися величинами.
       Правая часть уравнения (1) имеет первый порядок малости (α1; α2; d1;
d2), поэтому мы имеем право использовать метод Ван дер Поля. Подставляя
(2) в (1), получим:

Страницы