Теория колебаний. Аверина Л.И - 32 стр.

                                                    32

                              dA               dϕ x
− (1 − n 12 ) A cos Φ 1 − 2      sin Φ 1 − 2 A      cos Φ 1 =
                              dτ                dτ
                                                                                                  (3)
n 1 d 1 A sin Φ 1 + α 1 B cos Φ 2 + n 1 d 1 P [ −A sin Φ 1 +βA 3 sin 3 Φ 1 ]
                              dB               dϕ y
− (1 − n 22 ) B cos Φ 2 − 2      sin Φ 2 − 2 B      cos Φ 2 = n 2 d 2 B sin Φ 2 + α 2 A cos Φ 1
                              dτ                dτ
Как обычно, отбрасывая высшие гармоники и сравнивая коэффициенты при
синусах и косинусах правой и левой частей уравнении (3), получим систему
укороченных уравнений.
   dA                     3                          dϕ
−2    =n 1 d 1 A[(1 −P) + βPA 2 ] +α1 B sin ∆ϕ; −2A x =−(1 −n 12 )A +α1 B cos ∆ϕ
   dτ                     4                           dτ
   dB                                               dϕ y
−2    =n 2 d 2 B −α 2 A sin ∆ϕ;                 −2B      =−(1 −n 22 )B +α 2 A cos ∆ϕ
   dτ                                                dτ

                   5.З. Анализ стационарного режима.
       В стационарном режиме амплитуды, частота и сдвиг фаз между напря-
жениями не зависят от времени. Поэтому все производные должны быть рав-
ны нулю. Рассматривая систему укороченных уравнений, мы видим, что это
трансцендентная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными: А, В, ϕx и
ϕу. В стационарном режиме сдвиг фаз ∆ϕ постоянен. Он нас мало интересует,
и мы можем исключить ∆ϕ из уравнений. Для этой цели перепишем уравне-
ния в следующей форме:
                          3
  −α1B sin ∆ϕ =n1d1A[1 +P( βA 2 −1)]                      (4);    α1B cos ∆ϕ =(1 −n12 )A (5)
                          4
  α 2 A sin ∆ϕ =n 2 d 2 B                                (6);    α 2 A cos ∆ϕ =(1 −n 22 )B   (7)
       Возведем все уравнения в квадрат и сложим попарно (4) с (5) и (6) с (7).
                                                            3
                (α1B) 2 ={(1 −n12 ) 2 +(n1d1 ) 2 [1 −P(1 − βA 2 )]2 }A 2 (8)
                                                            4
                (α 2 A) 2 =[(1 −n 22 ) 2 +(n 2 d 2 ) 2 ]B 2              (9)
       Сравнивая (5) и (7), получим третье независимое уравнение.
                  B2 (1 −n12 )α 2
                     =                                          (10)
                  A 2 (1 −n 22 )α1
       Это уравнение позволяет исключить В из оставшихся уравнений.
                 (1 −n12 )        2 2          2            3
            α1α2       2
                           =(1 −n 1 ) +(n d
                                         1 1 )   [1 −P (1 −   βA 2 )]2 (11)
                 (1 −n 2 )                                  4
                     (1 −n 22 )
              α1α2                =(1 −n 22 ) 2 +(n 2d 2 ) 2                   (12)
                     (1 −n12 )
     Уравнение (11) определяет баланс амплитуд, из которого можно найти
амплитуду стационарных колебаний, если известна частота генерации. Если