ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
45
)t(EURi
dt
di
L
1
C
=++
, где
tcosE)t(E
m
ω=
.
Напряжение на емкости зависит от величины заряда и эту зависимость
можно аппроксимировать, например, степенным рядом (ряд Маклорена или
Тейлора).
...)qqqqq(
C
1
)q(U
5
4
4
3
3
2
2
1
o
C
+α+α+α+α+=
...qqqqq
5
4
4
3
3
2
2
1
>α>α>α>α>
Ток связан с изменением заряда соотношением dt/dqi
=
Сделаем замену переменных и введем безразмерные параметры
L/EE ;/ ;t ;L/Rd ;LC/1
2
om
'
moooo
2
o
ω=ωω=ηω=τω==ω
Используя эти формулы
,
мы запишем для нелинейного колебательного кон-
тура уравнение в новой форме.
ητ=+α+α+α+α++
τ
+
τ
cosE..)qqqq1(q
d
dq
d
d
qd
'
m
4
4
3
3
2
21
2
2
Анализ доказывает, что члены с нечётными коэффициентами
α
i
(i=1,3,...) в первом приближении не влияют на форму резонансной кривой
колебательного контура. Поэтому для упрощения анализа мы ограничимся
первым и третьим членами ряда Тейлора.
ητ+α−
τ
−=+
τ
cosEq
d
dq
dq
d
qd
'
m
3
2
2
2
Это уравнение неавтономной системы. Используя метод Ван дёр Поля,
следует искать решение в форме вынужденных колебаний для одночастотно-
го режима. Это обусловлено тем, что собственные колебания в контуре с по-
терями быстро затухают, и нам нет смысла учитывать их при анализе формы
резонансной кривой (стационарный режим). Ищем решение в виде
Φ=τ
ϕ
+ηττ=
cosA)](cos[)(Aq
где A и
ϕ
медленно меняющиеся величины. Теперь запишем левую и правую
части уравнений в первом приближении. Левая часть имеет стандартную
форму
...cos
dt
d
A2sin
dt
dA
2cosA)1(q
dt
qd
2
2
2
=Φη
ϕ
−Φη−Φη−=+
Правая часть принимает следующий вид
)cos(E)3cos
4
1
cos
4
3
(AsinAd...
cosEcosAsinAd...
'
m
3
2
'
m
33
2
ϕ−Φ+Φ+Φα−Φη=
=ητ+Φα−Φη=
Отбрасывая третью гармонику, и приравнивая коэффициенты при синусах и
косинусах правой и левой частей уравнения, мы можем записать укорочен-
ные уравнения.
45
1 di
+Ri +U C =E( t ) , где E( t ) =E m cos ωt .
L dt
Напряжение на емкости зависит от величины заряда и эту зависимость
можно аппроксимировать, например, степенным рядом (ряд Маклорена или
Тейлора).
1
U C (q) = (q +α1 q 2 +α 2 q 3 +α 3 q 4 +α 4 q 5 +...)
Co
q >α1q 2 >α 2 q 3 >α3q 4 >α 4q 5 >...
Ток связан с изменением заряда соотношением i =dq / dt
Сделаем замену переменных и введем безразмерные параметры
ωo2 =1 / LCo ; d =R / ωo L; τ =ωo t; η =ω/ ωo ; E 'm =E m / ωo2 L
Используя эти формулы, мы запишем для нелинейного колебательного кон-
тура уравнение в новой форме.
d 2q dq
2
+ d +q(1 +α1 q +α 2 q 2 +α 3 q 3 +α 4 q 4 +..) =E 'm cos ητ
dτ dτ
Анализ доказывает, что члены с нечётными коэффициентами αi
(i=1,3,...) в первом приближении не влияют на форму резонансной кривой
колебательного контура. Поэтому для упрощения анализа мы ограничимся
первым и третьим членами ряда Тейлора.
d 2q dq
2
+ q = − d −α 2 q 3 +E 'm cos ητ
dτ dτ
Это уравнение неавтономной системы. Используя метод Ван дёр Поля,
следует искать решение в форме вынужденных колебаний для одночастотно-
го режима. Это обусловлено тем, что собственные колебания в контуре с по-
терями быстро затухают, и нам нет смысла учитывать их при анализе формы
резонансной кривой (стационарный режим). Ищем решение в виде
q =A(τ) cos[ητ +ϕ(τ)] =A cos Φ
где A и ϕ медленно меняющиеся величины. Теперь запишем левую и правую
части уравнений в первом приближении. Левая часть имеет стандартную
форму
d 2q 2 dA dϕ
2
+ q = (1 − η ) A cos Φ − 2 η sin Φ − 2 A η cos Φ =...
dt dt dt
Правая часть принимает следующий вид
... =dηA sin Φ −α 2 A 3 cos 3 Φ +E 'm cos ητ =
3 1
... =dηA sin Φ −α 2 A 3 ( cos Φ + cos 3Φ) +E 'm cos(Φ −ϕ)
4 4
Отбрасывая третью гармонику, и приравнивая коэффициенты при синусах и
косинусах правой и левой частей уравнения, мы можем записать укорочен-
ные уравнения.
