ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
43
...)qqqqq(
C
1
)q(U
5
4
4
3
3
2
2
1
o
C
+α+α+α+α+=
...qqqqq
5
4
4
3
3
2
2
1
>α>α>α>α>
Введем обозначения:
oooo
2
o
/ ;t ;L/Rd ;LC/1
ωω=ηω=τω==ω
и запишем уравнение в новой форме.
ητ=+α+α+α+α++
τ
+
τ
2cos'E..)qqqq1(q
d
dq
d
d
qd
4
4
3
3
2
21
2
2
Будем искать решение в форме
]2cos[B)(yq
ψ
+ητ+τ=
и соберем уравнения для первой и второй гармоник раздельно.
2-я гармоника:
ητ=ψ+ητ++ψ+ητ
τ
+ψ+ητ
τ
2cos'E)2cos(B...)1()2cos(B
d
d
d)2cos(B
d
d
2
2
Очевидно, что
второй член мал
по сравнению с первым и слагаемые в
скобках тоже
малы
.
Мы их не стали даже выписывать для экономии места.
Поэтому в нулевом приближении мы получаем для второй гармоники сле-
дующее уравнение
ητ=ψ+ητ+ψ+ητ
τ
2cos'E)2cos(B)2cos(B
d
d
2
2
Теперь легко найти решение
0 );41/('EB
2
≈ψη−≈
Запишем уравнение для первой гармоники
0...])y2cosB(1[y
d
dy
d
d
yd
1
2
2
=++ητα++
τ
+
τ
Отбросим члены второго порядка малости и
α
1*
y в скобках как малый,
который не влияет в первом приближении (об этом мы скажем ниже). Теперь
мы имеем классическое уравнение параметрических колебаний. Следует, од-
нако, учесть, что форма напряжения на емкости будет равна сумме двух на-
пряжений: напряжения с частотой внешнего воздействия и напряжение па-
раметрических колебаний.
0)2cosB1(y
d
dy
d
d
yd
1
2
2
=ητα++
τ
+
τ
Таким образом, нелинейное уравнение нам удалось свести к парамет-
рическому при малых амплитудах внешнего воздействия.
Здесь необходимо обратить внимание на следующую закономерность.
Анализ показывает, что четные члены в аппроксимации
...)qqqqq(
C
1
)q(U
5
4
4
3
3
2
2
1
o
C
+α+α+α+α+=
(коэффициенты 1,
α
2
,
α
4
,…,
α
2n
, ..) не оказывают существенного влияния
на возникновение параметрических колебаний. Однако они могут сущест-
венно исказить классическую форму резонансной кривой колебательного
43
1
U C (q) = (q +α1q 2 +α 2q 3 +α3q 4 +α 4 q 5 +...)
Co
q >α1q 2 >α 2 q 3 >α3q 4 >α 4q 5 >...
Введем обозначения:
ωo2 =1 / LCo ; d =R / ωo L; τ =ωo t; η =ω/ ωo
и запишем уравнение в новой форме.
d 2q dq
2
+ d +q(1 +α1q +α 2 q 2 +α3q 3 +α 4q 4 +..) =E' cos 2ητ
dτ dτ
Будем искать решение в форме
q =y(τ) +B cos[2ητ +ψ ]
и соберем уравнения для первой и второй гармоник раздельно.
2-я гармоника:
2
d d
B cos( 2 ητ + ψ ) +d B cos(2ητ +ψ ) +(1 +...)B cos(2ητ +ψ ) =E ' cos 2ητ
dτ2 dτ
Очевидно, что второй член мал по сравнению с первым и слагаемые в
скобках тоже малы. Мы их не стали даже выписывать для экономии места.
Поэтому в нулевом приближении мы получаем для второй гармоники сле-
дующее уравнение
d2
2
B cos(2ητ +ψ ) +B cos(2ητ +ψ ) =E ' cos 2ητ
dτ
Теперь легко найти решение B ≈E ' /(1 −4η2 ); ψ ≈0
Запишем уравнение для первой гармоники
d2y dy
2
+d +y[1 +α1 (B cos 2ητ +y) +...] =0
dτ dτ
Отбросим члены второго порядка малости и α1*y в скобках как малый,
который не влияет в первом приближении (об этом мы скажем ниже). Теперь
мы имеем классическое уравнение параметрических колебаний. Следует, од-
нако, учесть, что форма напряжения на емкости будет равна сумме двух на-
пряжений: напряжения с частотой внешнего воздействия и напряжение па-
раметрических колебаний.
d2y dy
+ d +y(1 +α1B cos 2ητ) =0
dτ2 dτ
Таким образом, нелинейное уравнение нам удалось свести к парамет-
рическому при малых амплитудах внешнего воздействия.
Здесь необходимо обратить внимание на следующую закономерность.
Анализ показывает, что четные члены в аппроксимации
1
U C (q) = (q +α1q 2 +α 2q 3 +α3q 4 +α 4 q 5 +...)
Co
(коэффициенты 1, α2 ,α4 , ,α2n , ..) не оказывают существенного влияния
на возникновение параметрических колебаний. Однако они могут сущест-
венно исказить классическую форму резонансной кривой колебательного
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
