Теория колебаний. Аверина Л.И - 41 стр.

                                               41

    d 2A              d 2ϕ               dϕ 2
−     2
           cos Φ −A     2
                             sin Φ −A(      ) sin Φ +.... =(члены второго и более вы-
     dt             dt                   dt
соких порядков малости)
Как обычно, членами второго и более высоких порядков малости мы
пренебрегаем.
        Далее по нормальной схеме мы должны записать правую часть уравне-
ния в первом приближении. Поскольку величины d и ε являются величинами
первого порядка малости, мы должны подставлять в правую часть только
нулевое приближение для q и производных q. Учет членов более высокого
порядка малости не прибавит точности вычислениям, но сделает выкладки
более громоздкими и трудоемкими. Итак, имеем:
                                     εA             εA
.... =εA cos Φ sin 2ητ +dAη sin Φ = sin(ητ −ϕ) + sin(3ητ +ϕ) +dηA sin Φ
                                      2              2
 После отбрасывания высших гармоник мы получим окончательное выраже-
        ние правой части в первом приближении для первой гармоники:
                εA                         εA
          .... = sin(ητ −ϕ) +dηA sin Φ = sin(Φ −2ϕ) +dηA sin Φ =
                 2                          2
          εA                 εA
               sin Φ cos 2ϕ − cos Φ sin 2ϕ +dηA sin Φ
            2                 2
        Теперь нам осталось сделать завершающий шаг - приравнять коэффи-
циенты при синусах и косинусах правой и левой частей.
                             dA    εA
                          −2    η = cos 2ϕ +dηA
                             dt     2
                               dϕ     εA
                          −2A η =− sin 2ϕ −A(1 −η2 )
                               dt       2
Это и есть искомая система укороченных уравнений, полученная методом
Ван дер Поля.

                         6.4.Стационарный режим.
      Стационарный режим (dA/dt=0; dϕ/dt=0) реализуется на границе облас-
ти параметрического возбуждения колебаний. Внутри области колебания на-
растают, вне - затухают.
      Перепишем уравнения стационарного режима в более удобной форме.
                           ε                     ε
                     dη =− cos 2ϕ;      1 −η2 =− sin 2ϕ
                           2                     2
      Чтобы избавиться от фазы колебаний, возведем оба уравнения в квад-
рат и сложим.
                                 2        2 2 ε2
                             (dη) + (1 −η ) =
                                               4
Решений этого уравнения очевидно
                          ε =2 (dη)2 + 1 −η2        (   )2

Обычно d « l и выражение упрощается