Теория колебаний. Аверина Л.И - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

40
6.3. Синусоидальное изменение емкости.
Теперь, используя метод Вар дёр Поля, мы проанализируем явление
возбуждения параметрических колебаний в контуре при изменении емкости
по синусоидальному закону. Запишем закон изменения емкости.
)tsin1(C)t(C
o
ωε+=
Будем предполагать, что величина изменения емкости достаточно мала
(
ε
« 1). Запишем уравнение
0URi
dt
di
L
C
=++
Ток связан с зарядом емкости уравнением непрерывности
dt
dq
i
=
.
Напряжение на емкости равно
)tsin1(
C
q
C
q
U
o
C
ωε−≈=
Учитывая эти соотношения, мы можем записать следующее уравнение для
заряда на емкости в
колебательном контуре.
0)tsin1(
C
q
dt
dq
R
dt
qd
L
o
2
2
=ωε−++
Мы видим, что внешнее воздействие на заряд отсутствует (нет внешнего ис-
точника заряда), а изменяется только величина емкости. Введем следующие
обозначения:
oo
LC1
=ω
- собственная частота колебаний контура;
d=1/Q=R/
ω
o
L - затухание контура; Q - добротность контура;
τ
=
ω
o
t - безраз-
мерное время. Получаем:
0)tsin1(q
dt
dq
d
dt
qd
2
2
=ωε−++
Для решения этого уравнения методом Ван дер Поля запишем это
уравнение в стандартной форме, т.е. перенесем члены малого порядка в пра-
вую часть (величины
ε
«l и d«l). Будем также считать, что частота внешнего
воздействия примерно в два раза выше частоты собственных колебаний кон-
тура. Обозначим
η
=
ω
/2
ω
o
(
η≈
1).
ητε+−=+
2sinq
dt
dq
dq
dt
qd
2
2
(1)
Мы имеем дело с неавтономной системой, поэтому будем искать реше-
ние для режима вынужденных колебаний, т.е. колебаний, частота которых
определяется частотой внешнего параметрического воздействия.
Φ=τ
ϕ
+ηττ=
cosA)](cos[)(Aq
где А и
ϕ
медленно меняющиеся величины.
Нулевой порядок правой части уравнения (1), как известно, равен нулю
при А и
ϕ
постоянных . Запишем члены первого порядка малости для левой
части
−Φη
ϕ
−Φη−Φη−
cos
dt
d
A2sin
dt
dA
2cosA)1(
2
( первый порядок малости) 
                                    40

                  6.3. Синусоидальное изменение емкости.
       Теперь, используя метод Вар дёр Поля, мы проанализируем явление
возбуждения параметрических колебаний в контуре при изменении емкости
по синусоидальному закону. Запишем закон изменения емкости.
                                 C( t ) =C o (1 +εsin ωt )
       Будем предполагать, что величина изменения емкости достаточно мала
(ε « 1). Запишем уравнение
                                      di
                                   L +Ri +U C =0
                                      dt
                                                                  dq
Ток связан с зарядом емкости уравнением непрерывности i = .
                                                                  dt
                                                q   q
Напряжение на емкости равно U C = ≈ (1 −εsin ωt )
                                               C Co
Учитывая эти соотношения, мы можем записать следующее уравнение для
заряда на емкости в колебательном контуре.
                          d 2q         dq     q
                        L 2 +R             + (1 −εsin ωt ) =0
                           dt          dt Co
Мы видим, что внешнее воздействие на заряд отсутствует (нет внешнего ис-
точника заряда), а изменяется только величина емкости. Введем следующие
обозначения: ωo =1 LCo - собственная частота колебаний контура;
d=1/Q=R/ωoL - затухание контура; Q - добротность контура; τ=ωot - безраз-
мерное время. Получаем:
                           d 2q        dq
                              2
                                 + d       +q(1 −εsin ωt ) =0
                           dt          dt
       Для решения этого уравнения методом Ван дер Поля запишем это
уравнение в стандартной форме, т.е. перенесем члены малого порядка в пра-
вую часть (величины ε«l и d«l). Будем также считать, что частота внешнего
воздействия примерно в два раза выше частоты собственных колебаний кон-
тура. Обозначим η=ω/2ωo (η≈1).
                 d 2q             dq
                       +q  =  − d      +qεsin 2ητ             (1)
                 dt 2             dt
       Мы имеем дело с неавтономной системой, поэтому будем искать реше-
ние для режима вынужденных колебаний, т.е. колебаний, частота которых
определяется частотой внешнего параметрического воздействия.
                         q =A(τ) cos[ητ +ϕ(τ)] =A cos Φ
где А и ϕ медленно меняющиеся величины.
       Нулевой порядок правой части уравнения (1), как известно, равен нулю
при А и ϕ постоянных. Запишем члены первого порядка малости для левой
части
                    dA                    dϕ
(1 −η2 )A cos Φ −2      η sin Φ −2A η cos Φ −( первый порядок малости)
                     dt                   dt

Страницы