Теория колебаний. Аверина Л.И - 42 стр.

                                      42

                                 ε =2 1 −η2
График области параметрических колебаний представлен на рис.3.
                                                    При     условиях    данной
                                                    задачи стационарный ре-
                                                    жим внутри области пара-
                                                    метрического возбуждения
                                                    колебаний невозможен и
                                                    колебания нарастают во
                                                    времени. Легко видеть, что
                                                    область параметрического
                                                    возбуждения уменьшается
                                                    при наличии затухания кон-
                                                    тура. Если не выполняется
                                                    условие ε>2d или Qε/2>1,
                                                    то параметрическое возбуж-
                                                    дение колебаний в контуре
                                                    невозможно.
                     Рис.3.
       Параметрические колебания, возбуждаемые периодическим сигналом,
описываются уравнениями Матье-Хилла. Каноническая форма уравнения
Матье имеет следующий вид
                            d2y
                             2
                                +(a −2q cos 2 x ) y =0
                            d x
       Величина а связана с параметром η соотношением а = 1/η2 , а величина
q связана с ε соотношением q = aε . Решение уравнения Матье выражается
через функции Матье, которые приводятся во всех справочниках по специ-
альным функциям (ce2n; se2n; ce2n+1; se2n+1), которые ведут себя подобно сину-
сам и косинусам.
       Строгое решение уравнения параметрического резонанса имеет много
областей параметрического возбуждения колебаний, которые расположены
вблизи частот, определяемых уравнением
                                  f ген =2f o / n
где: fген - центральная частота внешнего воздействия; fо - резонансная частота
контура; n - любое положительное целое число.

             6.5. Параметрические явления в нелинейном контуре.
      Параметрические явления могут возникнуть также в нелинейном кон-
туре под воздействием внешней ЭДС. Допустим, что в колебательном конту-
ре имеется нелинейная емкость (например, емкость р-n перехода запертого
диода). В этом случае мы можем записать следующее уравнение
                       d 2q  dq
                     L 2 +R      +U C (q) =E m cos 2ωt
                       dt     dt
      Напряжение на емкости мы аппроксимируем степенным рядом по q .