Теория колебаний. Аверина Л.И - 5 стр.

                                             5

      Чтобы получить первое приближение уравнения (1), будем искать ре-
шение в форме (2). Однако мы будем предполагать, что А и ϕ являются мед-
ленно меняющимися функциями времени. Поэтому спектр колебаний будет
очень узкололосный.
      Медленность изменения означает, что за период колебаний Т = 2π/ωo
амплитуда А и фаза ϕ практически не изменяются и их можно приближенно
считать как бы постоянными в течение этого интервала времени. Математи-
чески условие медленности можно записать в форме:
            1 dA     1 d 2A                       1 dϕ      1 d 2ϕ
      A >>       >> 2 2 >>...               2π >>       >> 2 2 >>...
           ωo dt    ωo dt                         ωo dt    ωo dt
Заметим, что оператор d /d(ωot)≈µ имеет порядок величины µ. Иными слова-
ми, чем выше производная амплитуды или фазы, тем меньше порядок вели-
чины этой производной.
      Теперь преобразуем левую часть уравнения (1). Для этой цели запишем
производные х.
x =A cos(ωo t +ϕ) [0]
dx                            dA                  dϕ
   =−ωoA sin(ωo t +ϕ) [0] +ωo    cos(ωo t +ϕ) −ωoA sin(ωo t +ϕ) [1]
dt                            dt                  dt
d2 x                                  dA                     dϕ
       =−ωo2A cos(ωo t +ϕ) [0] −2ωo      sin(ωo t +ϕ) - 2ωo A cos(ωo t +ϕ)[1] +
dt2                                   dt                     dt
  d 2A                dA dϕ                 d2ϕ                dϕ
+ 2 cos(ωo t +ϕ) −2          sin(ωo t +ϕ) −A 2 sin(ωo t +ϕ) −A( )2 cos(ωo t +ϕ) [2]
  dt                   dt dt                 dt                dt
В уравнениях цифры в квадратных скобках указывают порядок малости чле-
нов по степеням µ.. Как мы помним, порядок малости определяется степенью
множителя µ.
       Подставляя найденное выражение в левую часть уравнения (1), мы по-
лучим выражение , которое имеет первый порядок малости, т.е. порядок µ.
                   dA                       dϕ
             −2ωo       sin(ωo t +ϕ) - 2ωo A cos(ωo t +ϕ) =...
                    dt                      dt
       Эта левая часть имеет стандартную форму и ее можно использовать без
вывода при анализе автономных квазилинейных систем.
       Теперь пришло время преобразовать правую часть уравнения. Мы по-
лучили в левой части члены, которые имеют первый порядок малости. По-
этому в правую часть мы можем подставлять х и производные х в нулевом
приближении. Учет членов первого приближения даст нам члены второго
порядка малости. Они не позволяют уточнить решение, но делают выкладки
более громоздкими.
       Запишем правую часть и представим ее в виде ряда Фурье по гармони-
кам частоты ωo.