Теория колебаний. Аверина Л.И - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
)]t(nsin );;A(f)t(n cos );;A(f );;A(f[
)]tsin(A);tcos(A[f...
oo
1n
nsoo
1n
nco
ooo
ϕ+ωϕω+ϕ+ωϕω+ϕωµ=
=
ϕ
+ωω−
ϕ
+ω
µ
=
∑∑
∞
=
∞
=
Далее процедура получения укороченных уравнений имеет следующие
простые шаги:
1. В правой части пренебрегаем всеми гармониками кроме первой. Как
правило, амплитуды этих гармоник имеет порядок величины
µ
2
и выше:
)t(sin );;A(f)t( cos );;A(f...
oos1ooc1
ϕ
+ω
ϕ
ω
µ
+
ϕ
+ω
ϕ
ω
µ
=
2. Приравниваем коэффициенты при синусах и косинусах правой и ле-
вой частей уравнения и записываем укороченные уравнения для первой гар-
моники. В результате мы имеем систему укороченных уравнений, которые
описывают квазилинейную систему в первом приближении.
);;A(f
dt
d
2 );;A(f
dt
dA
2
oc1oos1o
ωϕµ=
ϕ
ω−ωϕµ=ω−
(3)
Далее мы проводим анализ и решение этих уравнений.
1.4. Укороченные уравнения для неавтономных систем.
Уравнение, описывающее неавтономную систему, может иметь вид:
)tcosE;
dt
dx
;x(fx
dt
xd1
2
2
2
o
ωµ=+
ω
где Е- амплитуда внешнего источника колебаний.
а) Асинхронный режим.
Процедура вывода укороченных уравнений
сохраняется. Однако мы должны пренебрегать не только гармониками, но и
комбинационными частотами в правой части. Мы считаем, что они не попа-
дают в полосу пропускания контура или же они столь малы, что практически
не оказывают влияния на систему в первом приближении.
б) Синхронный режим.
Методика получения укороченных уравнений
сохраняется. Однако имеются некоторые отличия в левой части укороченных
уравнений. По-прежнему, амплитуда и фаза колебаний являются медленно
меняющимися функциями. Но частота в синхронном режиме может не сов-
падать с частотой резонансной системы. Она равна или находится в дробно
кратных отношениях с частотой внешней вынуждающей силы. В силу этого
решение ищется в виде:
()
)t(tcos)t(Ax
ϕ
+ω=
где
ω
- частота внешнего воздействия или же ее дробно-кратная часть.
В результате в левой части появляется дополнительный член суммы.
Запишем левую часть для этого случая:
...)tcos()1(A)tcos(
dt
d
A2-)tsin(
dt
dA
2
2
o
2
=ϕ+ω
ω
ω
−+ϕ+ω
ϕ
ωϕ+ωω−
В правой части, как и ранее, мы сохраняем комбинационные состав-
ляющие первого порядка малости, которые попадают в полосу пропускания
резонансной системы. 
                                             6

... =µf [A cos(ωo t +ϕ);−Aωo sin(ωo t +ϕ)] =
                    ∞                                    ∞
=µ[f (A; ωo ; ϕ) + ∑ f nc (A; ωo ; ϕ) cos n (ωo t +ϕ) + ∑ f ns (A; ωo ; ϕ) sin n (ωo t +ϕ)]
                   n =1                                 n =1
      Далее процедура получения укороченных уравнений имеет следующие
простые шаги:
      1. В правой части пренебрегаем всеми гармониками кроме первой. Как
правило, амплитуды этих гармоник имеет порядок величины µ2 и выше:
            ... =µf1c (A; ωo ; ϕ) cos (ωo t +ϕ) +µf1s ( A; ωo ; ϕ) sin (ωo t +ϕ)
      2. Приравниваем коэффициенты при синусах и косинусах правой и ле-
вой частей уравнения и записываем укороченные уравнения для первой гар-
моники. В результате мы имеем систему укороченных уравнений, которые
описывают квазилинейную систему в первом приближении.
                dA                                dϕ
         −2ωo       =µf 1s (A; ϕ; ωo )       −2ωo      =µf1c (A; ϕ; ωo )         (3)
                 dt                               dt
      Далее мы проводим анализ и решение этих уравнений.

             1.4. Укороченные уравнения для неавтономных систем.
      Уравнение, описывающее неавтономную систему, может иметь вид:
                         1 d2x                  dx
                          2   2
                                + x = µ f ( x ;    ; E cos ωt )
                        ωo dt                   dt
где Е- амплитуда внешнего источника колебаний.
      а) Асинхронный режим. Процедура вывода укороченных уравнений
сохраняется. Однако мы должны пренебрегать не только гармониками, но и
комбинационными частотами в правой части. Мы считаем, что они не попа-
дают в полосу пропускания контура или же они столь малы, что практически
не оказывают влияния на систему в первом приближении.
      б) Синхронный режим. Методика получения укороченных уравнений
сохраняется. Однако имеются некоторые отличия в левой части укороченных
уравнений. По-прежнему, амплитуда и фаза колебаний являются медленно
меняющимися функциями. Но частота в синхронном режиме может не сов-
падать с частотой резонансной системы. Она равна или находится в дробно
кратных отношениях с частотой внешней вынуждающей силы. В силу этого
решение ищется в виде:
                              x =A( t ) cos(ωt +ϕ( t ) )
где ω - частота внешнего воздействия или же ее дробно-кратная часть.
      В результате в левой части появляется дополнительный член суммы.
Запишем левую часть для этого случая:
            dA                  dϕ                            ω2
       −2ω sin(ωt +ϕ) - 2ωA        cos(ωt +ϕ) +A(1 − 2 ) cos(ωt +ϕ) =...
            dt                  dt                            ωo
      В правой части, как и ранее, мы сохраняем комбинационные состав-
ляющие первого порядка малости, которые попадают в полосу пропускания
резонансной системы.

Страницы