Теория колебаний. Аверина Л.И - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
принципиальные различия между методами или сходные черты. По большо-
му счету эти методы эквивалентны.
Однако с методической точки зрения метод Ван дер Поля более про-
зрачен и мы будем его широко использовать при анализе квазилинейных
систем. Заметим, что метод Ван дер Поля, в отличие от других методов, мо-
жет быть сравнительно просто использован для анализа многочастотных сис-
тем и т.д.
1.2. Уравнение автономной квазилинейной системы.
В зависимости от характера автономного режима и от характера режи -
ма синхронизма применение метода Ван дер Поля имеет свои особенности.
Поэтому сначала ознакомимся с простейшим уравнением автономной ква-
зилинейной системы.
Уравнение, описывающее квазилинейную систему второго порядка,
имеет следующий характерный вид:
)
dt
dx
;x(Fx
dt
xd1
2
2
2
o
=+
ω
(1)
где: х - переменная (напряжение или ток, например);
ω
ο
- частота собствен-
ных колебаний; F - нелинейный член уравнения.
Допустим, что в квазилинейной системе х изменяется по
синусоидальному закону:
)tcos(Ax
o
ϕ
+ω=
(2)
Тогда
)tcos(A
dt
xd
);tsin(A
dt
dx
o
2
o
2
2
oo
ϕ+ωω−=ϕ+ωω−=
Нетрудно заметить, что оба члена левой части уравнения (1) имеют
одинаковый порядок величины:
A])t(d/xdmax[]td/dxmax[]xmax[
2
o
2
o
≈ω=ω=
Правая часть уравнения может быть представлена в следующей форме:
)
dt
dx
;x(fA)
dt
dx
;x(F
µ=
,
где
)]
dt
dx
;x(fmax[A
)]
dt
dx
;x(Fmax[
;
)]
dt
dx
;x(Fmax[
)
dt
dx
;x(F
)
dt
dx
;x(f
=µ=
Легко видеть, что функция f нормирована так, что ее максимальное
значение не превышает 1, величина
µ
характеризует степень малости правой
части уравнения по отношению к любому члену левой части. Чем меньше
µ
,
тем меньше влияние нелинейной функции F и тем меньше амплитуды гармо-
ник, которые существуют в точном решении уравнения.
1.3. Укороченные уравнения.
Изложим теперь метод Ван дер Поля применительно к рассматривае-
мой системе. В нулевом приближении (
µ
=0) решение уравнения (1) триви-
ально и имеет вид (2). 
                                      4

принципиальные различия между методами или сходные черты. По большо-
му счету эти методы эквивалентны.
      Однако с методической точки зрения метод Ван дер Поля более про-
зрачен и мы будем его широко использовать при анализе квазилинейных
систем. Заметим, что метод Ван дер Поля, в отличие от других методов, мо-
жет быть сравнительно просто использован для анализа многочастотных сис-
тем и т.д.
              1.2. Уравнение автономной квазилинейной системы.
      В зависимости от характера автономного режима и от характера режи-
ма синхронизма применение метода Ван дер Поля имеет свои особенности.
Поэтому сначала ознакомимся с простейшим уравнением автономной ква-
зилинейной системы.
      Уравнение, описывающее квазилинейную систему второго порядка,
имеет следующий характерный вид:
                              1 d2x              dx
                                      +x =F( x ;    )      (1)
                             ωo2 dt 2            dt
где: х - переменная (напряжение или ток, например); ωο - частота собствен-
ных колебаний; F - нелинейный член уравнения.
      Допустим, что в квазилинейной системе х изменяется по
синусоидальному закону:
                                 x =A cos(ωo t +ϕ)                        (2)
Тогда
                   dx                            d2x
                      =−ωo A sin(ωo t +ϕ);          2
                                                      =−ωo2 A cos(ωo t +ϕ)
                   dt                            dt
      Нетрудно заметить, что оба члена левой части уравнения (1) имеют
одинаковый порядок величины:
                   max[ x ] =max[dx / dωo t ] =max[d 2 x / d (ωo t ) 2 ] ≈A
      Правая часть уравнения может быть представлена в следующей форме:
                              dx             dx
                         F( x; ) =µAf ( x; ) ,
                               dt             dt
                              dx                         dx
                         F( x; )               max[F( x; )]
                dx             dt                         dt
      где f ( x; ) =                 ; µ=
                dt                dx                       dx
                      max[F( x; )]            A max[f ( x; )]
                                  dt                       dt
      Легко видеть, что функция f нормирована так, что ее максимальное
значение не превышает 1, величина µ характеризует степень малости правой
части уравнения по отношению к любому члену левой части. Чем меньше µ,
тем меньше влияние нелинейной функции F и тем меньше амплитуды гармо-
ник, которые существуют в точном решении уравнения.
                            1.3. Укороченные уравнения.
      Изложим теперь метод Ван дер Поля применительно к рассматривае-
мой системе. В нулевом приближении (µ=0) решение уравнения (1) триви-
ально и имеет вид (2).

Страницы