Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.5. Задачи и упражнения 123
следовательно,
Z
∞
−∞
dy
Z
∞
0
|u(x, y)|
p
(2x)
2
dx ≤
³
p
2
´
p
Z
∞
−∞
dy
Z
∞
0
|∇u(x, y)|
p
(2x)
p−2
dx.
Остается заметить, что 2x = λ
−1
Π
(x + iy) для полуплоскости Π. Таким обра-
зом, утверждение будет доказано для любой односвязной области гипербо-
лического типа.
Переход к двусвязным областям можно провести по схеме доказательства
неравенства (10.8) в лемме 10.1.
5) Пусть Ω
3
= C \{0, 1} = C \ {0, 1, ∞}. Докажите соотношение
sup
u∈C
∞
0
(Ω
3
)
RR
Ω
3
|u(x, y)|
2
λ
2
Ω
3
(z) dx dy
RR
Ω
3
|∇u(x, y)|
2
dx dy
= ∞,
приведенное без доказательства перед заключительной теоремой.
6) Постройте примеры бесконечносвязных областей, обобщающих описан-
ные выше примеры 1-3, для которых максимальные модули M
0
(Ω) или M
1
(Ω)
можно вычислить точно.
7) На стр.119 и стр. 343-345 монографии Дж. Б. Гарнета и Д. Е. Маршалла
по гармоническим мерам [25] можно найти более 10 критериев равномерной
совершенности множества ∂Ω, или, что то же самое, более 10 нетривиально
эквивалентных определений понятия равномерной совершенности ∂Ω. Среди
критериев, приведенных в этой книге, отсутствуют два следующих:
M
0
(Ω) < ∞
и
γ(Ω) < ∞,
т. е. отсутствуют именно те характеристики, которые были существенно ис-
пользованы нами для явных оценок констант Харди в доказательствах тео-
рем 10.5, 10.6.
7.1) Убедитесь путем построения примеров, что условие M
0
(Ω) < ∞ яв-
ляется наиболее простым для проверки из всех критериев равномерной со-
вершенности, приведенных в работах [28], [31], [25].
7.2) Докажите, что свойство равномерной совершенности границы обла-
сти является конформно инвариантным.
10.5. Задачи и упражнения                                                                           123

следовательно,
      Z ∞    Z     ∞                   ³ p ´p   Z   ∞         Z       ∞
                       |u(x, y)|p
          dy                      dx ≤                   dy               |∇u(x, y)|p (2x)p−2 dx.
        −∞     0         (2x)2           2          −∞            0

Остается заметить, что 2x = λ−1
                              Π (x + iy) для полуплоскости Π. Таким обра-
зом, утверждение будет доказано для любой односвязной области гипербо-
лического типа.
   Переход к двусвязным областям можно провести по схеме доказательства
неравенства (10.8) в лемме 10.1.

    5) Пусть Ω3 = C \ {0, 1} = C \ {0, 1, ∞}. Докажите соотношение
                               RR
                                  Ω3
                                     |u(x, y)|2 λΩ2 3 (z) dx dy
                     sup          RR                            = ∞,
                   u∈C0∞ (Ω3 )       Ω3
                                        |∇u(x, y)|2 dx dy

приведенное без доказательства перед заключительной теоремой.

   6) Постройте примеры бесконечносвязных областей, обобщающих описан-
ные выше примеры 1-3, для которых максимальные модули M0 (Ω) или M1 (Ω)
можно вычислить точно.

   7) На стр.119 и стр. 343-345 монографии Дж. Б. Гарнета и Д. Е. Маршалла
по гармоническим мерам [25] можно найти более 10 критериев равномерной
совершенности множества ∂Ω, или, что то же самое, более 10 нетривиально
эквивалентных определений понятия равномерной совершенности ∂Ω. Среди
критериев, приведенных в этой книге, отсутствуют два следующих:

                                       M0 (Ω) < ∞

и
                                        γ(Ω) < ∞,
т. е. отсутствуют именно те характеристики, которые были существенно ис-
пользованы нами для явных оценок констант Харди в доказательствах тео-
рем 10.5, 10.6.

   7.1) Убедитесь путем построения примеров, что условие M0 (Ω) < ∞ яв-
ляется наиболее простым для проверки из всех критериев равномерной со-
вершенности, приведенных в работах [28], [31], [25].

   7.2) Докажите, что свойство равномерной совершенности границы обла-
сти является конформно инвариантным.

Страницы