Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

122 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
использованную при доказательстве пункта 1) теоремы 10.5.
Указание. Рассматриваемые величины инвариантны при линейных преоб-
разованиях. Поэтому достаточно взять кольцо с центром в начале координат
и с радиусами ε ∈ (0, 1) и 1. Тогда
1
λ
A
(z)
= 4M |z| sin
µ
ln(1/|z|)
2M
,
где
M := M(A) =
1
2π
ln(1/ε).
Поэтому
|∇λ
−1
A
(z)| =
¯
¯
¯
¯
dλ
−1
A
(z)
d|z|
¯
¯
¯
¯
= |g(t)|,
где
t =
ln(1/|z|)
2M
∈ (0, π), g(t) = 4M sin t − 2 cos t.
Простые вычисления показывают, что максимум |g(t)| достигается в некото-
рой точке t
0
∈ (π/2, π), определяемой равенством tg t
0
= −2M, и поэтому
γ(A) = |g(t
0
)| = 2
√
1 + 4M
2
.
3) Для заданного положительного числа C постройте примеры трехсвяз-
ных областей Ω
3
, удовлетворяющих условию M
0
(Ω
3
) = C.
4) Докажите следующее утверждение.
Пусть 1 ≤ p < ∞, и пусть Ω – односвязная или двусвязная область гипер-
болического типа на расширенной комплексной плоскости. Тогда справедли-
во неравенство
ZZ
Ω
|u(z)|
p
λ
2
Ω
(z) dx dy ≤
³
p
2
´
p
ZZ
Ω
|∇u(z)|
p
λ
2−p
Ω
(z) dx dy ∀u ∈ C
∞
0
(Ω) .
Указание. В силу конформной инвариантности неравенство достаточно
доказать для полуплоскости и для кругового концентрического кольца.
Для полуплоскости требуемое неравенство можно получить как следствие
результата Харди. А именно, полагая s = 2 и f(t) = |u(t, y)| (u ∈ C
∞
0
(Π)) в
неравенстве Харди (10.3), имеем
Z
∞
0
|u(t, y )|
p
t
2
dt ≤ p
p
Z
∞
0
¯
¯
¯
¯
∂u(t, y)
∂t
¯
¯
¯
¯
p
t
p−2
dt ≤ p
p
Z
∞
0
|∇u(t, y)|
p
t
p−2
dt,
122                           Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

использованную при доказательстве пункта 1) теоремы 10.5.

    Указание. Рассматриваемые величины инвариантны при линейных преоб-
разованиях. Поэтому достаточно взять кольцо с центром в начале координат
и с радиусами ε ∈ (0, 1) и 1. Тогда
                                           µ           ¶
                          1                  ln(1/|z|)
                              = 4M |z| sin               ,
                       λA (z)                   2M
где
                                             1
                          M := M (A) =         ln(1/ε).
                                            2π
Поэтому                                ¯ −1 ¯
                                       ¯ dλ (z) ¯
                        |∇λ−1
                           A (z)|   = ¯¯ A      ¯ = |g(t)|,
                                           d|z| ¯
где
                   ln(1/|z|)
               t=            ∈ (0, π), g(t) = 4M sin t − 2 cos t.
                      2M
Простые вычисления показывают, что максимум |g(t)| достигается в некото-
рой точке t0 ∈ (π/2, π), определяемой равенством tg t0 = −2M , и поэтому
                                             √
                          γ(A) = |g(t0 )| = 2 1 + 4M 2 .

  3) Для заданного положительного числа C постройте примеры трехсвяз-
ных областей Ω3 , удовлетворяющих условию M0 (Ω3 ) = C.

   4) Докажите следующее утверждение.
   Пусть 1 ≤ p < ∞, и пусть Ω – односвязная или двусвязная область гипер-
болического типа на расширенной комплексной плоскости. Тогда справедли-
во неравенство
   ZZ                         ³ p ´p Z Z
              p 2
        |u(z)| λΩ (z) dx dy ≤              | ∇u(z)|p λ2−p               ∞
                                                      Ω (z) dx dy ∀u ∈ C0 (Ω) .
      Ω                         2        Ω


   Указание. В силу конформной инвариантности неравенство достаточно
доказать для полуплоскости и для кругового концентрического кольца.
   Для полуплоскости требуемое неравенство можно получить как следствие
результата Харди. А именно, полагая s = 2 и f (t) = |u(t, y)| (u ∈ C0∞ (Π)) в
неравенстве Харди (10.3), имеем
     Z ∞                     Z ∞¯          ¯           Z ∞
         |u(t, y)|p             ¯ ∂u(t, y) ¯p p−2
                    dt ≤ p p    ¯          ¯ t dt ≤ pp
                                                           |∇u(t, y)|p tp−2 dt,
             t 2                ¯   ∂t     ¯
      0                       0                         0

Страницы