Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

120 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
P
2
) область Ω является многосвязной и существуют окружности, лежа-
щие в этой области и разделяющие ее граничные компоненты, но при этом
является конечной величиной следующий максимальный модуль
M
0
(Ω) := sup
1
2π
ln
R(A)
r(A)
,
где супремум берется по всем круговым концентрическим кольцам A = {z ∈
C : r(A) < |z − z
0
| < R(A)}, разделяющим компоненты ∂Ω, а именно, по
кольцам таким, что A ⊂ Ω, z
0
∈ ∂Ω.
Отметим также, что термин "равномерно совершенный" (uniformly perfect)
введен Х. Поммеренке в его статье [35]. Им дано следующее определение.
Расположенный на римановой сфере компакт E, содержащий бесконечно
удаленную точку, называется равномерно совершенным, если существует
постоянная c ∈ (0, 1) такая, что для любой точки z
0
∈ E \ {∞} и любого
r ∈ (0, ∞) множество E ∩ {z ∈ C : cr < |z − z
0
| < r} не пусто.
Обозначив через c
0
(E) супремум допустимых констант c ∈ (0, 1) в этом
определении, получаем
1
2π
ln
1
c
0
(E)
= M
0
(Ω), Ω = C \ E.
Переходя к неравенствам Харди, отметим, что наш выбор M
0
(Ω) в ка-
честве характеристики для равномерно совершенных граничных множеств
объясняется простотой этого параметра. Для вычисления или оценки M
0
(Ω)
не нужны конформные отображения, гиперболические характеристики об-
ласти или свойства гармонических мер.
В главе 10 приведена с доказательством оценка C(Ω) ≤ 16 для одно-
связных областей, полученная в статье А. Анконы [15]. Для многосвязных
областей в статьях [15] и [26] обоснованы лишь результаты качественного ха-
рактера, и методы этих работ, по-видимому, не позволяют получить явные
оценки для константы Харди. Поэтому в случае многосвязных областей мы
привели с доказательствами явные двусторонние оценки константы Харди
C(Ω) через максимальный модуль M
0
(Ω), полученные в статье автора [16].
Теорема 10.2 играет двоякую роль. Она показывает, во-первых, что су-
ществуют неравенства типа Харди, для которых "хорошими" оказываются
все области. Во-вторых, ограничение 2 < s < ∞ в этой теореме связано с
существенной зависимостью неравенств Харди от размерности областей, как
это видно из следующей, полной версии теоремы 10.2, доказанной также в
статье [16]:
120                         Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

   P2 ) область Ω является многосвязной и существуют окружности, лежа-
щие в этой области и разделяющие ее граничные компоненты, но при этом
является конечной величиной следующий максимальный модуль

                                          1    R(A)
                         M0 (Ω) := sup      ln      ,
                                         2π    r(A)

где супремум берется по всем круговым концентрическим кольцам A = {z ∈
C : r(A) < |z − z0 | < R(A)}, разделяющим компоненты ∂Ω, а именно, по
кольцам таким, что A ⊂ Ω, z0 ∈ ∂Ω.
   Отметим также, что термин "равномерно совершенный" (uniformly perfect)
введен Х. Поммеренке в его статье [35]. Им дано следующее определение.
   Расположенный на римановой сфере компакт E, содержащий бесконечно
удаленную точку, называется равномерно совершенным, если существует
постоянная c ∈ (0, 1) такая, что для любой точки z0 ∈ E \ {∞} и любого
r ∈ (0, ∞) множество E ∩ {z ∈ C : cr < |z − z0 | < r} не пусто.
   Обозначив через c0 (E) супремум допустимых констант c ∈ (0, 1) в этом
определении, получаем

                     1       1
                       ln        = M0 (Ω),    Ω = C \ E.
                    2π    c0 (E)


   Переходя к неравенствам Харди, отметим, что наш выбор M0 (Ω) в ка-
честве характеристики для равномерно совершенных граничных множеств
объясняется простотой этого параметра. Для вычисления или оценки M0 (Ω)
не нужны конформные отображения, гиперболические характеристики об-
ласти или свойства гармонических мер.
   В главе 10 приведена с доказательством оценка C(Ω) ≤ 16 для одно-
связных областей, полученная в статье А. Анконы [15]. Для многосвязных
областей в статьях [15] и [26] обоснованы лишь результаты качественного ха-
рактера, и методы этих работ, по-видимому, не позволяют получить явные
оценки для константы Харди. Поэтому в случае многосвязных областей мы
привели с доказательствами явные двусторонние оценки константы Харди
C(Ω) через максимальный модуль M0 (Ω), полученные в статье автора [16].
   Теорема 10.2 играет двоякую роль. Она показывает, во-первых, что су-
ществуют неравенства типа Харди, для которых "хорошими" оказываются
все области. Во-вторых, ограничение 2 < s < ∞ в этой теореме связано с
существенной зависимостью неравенств Харди от размерности областей, как
это видно из следующей, полной версии теоремы 10.2, доказанной также в
статье [16]:

Страницы