Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

118 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
Пусть f ∈ C
∞
0
(Ω), тогда |f|
2
∈ C
1
0
(Ω) и |∇|f|
2
| = 2|f||∇f|. Пользуясь
уравнением Лиувилля
∆ log λ
Ω
(z)
−1
λ
Ω
(z)
2
= −4, z = x + iy ∈ Ω,
и формулой Грина
ZZ
Ω
[u∆v + (∇u, ∇v)] dx dy = 0
для v = log λ
−1
Ω
и u = |f|
2
, f ∈ C
∞
0
(Ω), получаем
4
ZZ
Ω
|f(z)|
2
λ
2
Ω
(z)dx dy = 2
ZZ
Ω
|f(z)| λ
Ω
(z) (∇|f(z)|, ∇λ
−1
Ω
(z)) dx dy.
Комбинируя это соотношение с неравенством Коши-Буняковского-Шварца
µ
ZZ
Ω
|f(z)| λ
Ω
(z) |(∇|f(z)|, ∇λ
−1
Ω
(z))| dx dy
2
≤
≤
µ
ZZ
Ω
|f(z)|
2
λ
2
Ω
(z) dx dy
ZZ
Ω
λ
Ω
(z)| (∇f(z), ∇λ
−1
Ω
(z))|
2
dx dy,
непосредственно получаем
ZZ
Ω
|f(z)|
2
λ
2
Ω
(z) dx dy ≤
1
4
ZZ
Ω
|(∇f(z), ∇λ
−1
Ω
(z))|
2
dx dy (10.13)
для любой функции f ∈ C
∞
0
(Ω).
Пользуясь (10.13) и следующим неравенством Осгуда [33]
λ
Ω
(z)|∇λ
−1
Ω
(z)| ≤
2
dist(z, ∂Ω)
, z = x + iy ∈ Ω,
приходим к соотношению
ZZ
Ω
|f(z)|
2
λ
2
Ω
(z) dx dy ≤
ZZ
Ω
λ
−2
Ω
(z)|∇f(z)|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy.
Следовательно, для любой функции f ∈ C
∞
0
(Ω) имеет место неравенство
α(Ω)
2
ZZ
Ω
|f(z)|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤
1
α(Ω)
2
ZZ
Ω
|∇f(z)|
2
dx dy,
или, что то же самое, неравенство
ZZ
Ω
|f(z)|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤
1
α(Ω)
4
ZZ
Ω
|∇f(z)|
2
dx dy, (10.14)
где
α(Ω) := inf{λ
Ω
(z)dist(z, ∂Ω) : z ∈ Ω}.
Применяя далее уточненную версию (10.12) оценки А. Е. Бирдона и Х. Пом-
меренке, получаем утверждения теоремы.
118                                                Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

   Пусть f ∈ C0∞ (Ω), тогда |f |2 ∈ C01 (Ω) и |∇|f |2 | = 2|f ||∇f |. Пользуясь
уравнением Лиувилля
                                   ∆ log λΩ (z)−1
                                                  = −4, z = x + iy ∈ Ω,
                                      λΩ (z)2
и формулой Грина                      ZZ
                                                 [u∆v + (∇u, ∇v)]dx dy = 0
                                             Ω
для v = log λ−1           2       ∞
              Ω и u = |f | , f ∈ C0 (Ω), получаем
     ZZ                          ZZ
   4            2 2
         |f (z)| λΩ (z)dx dy = 2     |f (z)| λΩ (z) (∇|f (z)|, ∇λ−1
                                                                 Ω (z)) dx dy.
          Ω                                            Ω
Комбинируя это соотношение с неравенством Коши-Буняковского-Шварца
            µZ Z                                            ¶2
                                               −1
                  |f (z)| λΩ (z) |(∇|f (z)|, ∇λΩ (z))| dx dy ≤
                           Ω
          µZ Z                                       ¶ ZZ
      ≤              |f (z)|   2
                                   λ2Ω (z)   dx dy              λΩ (z)| (∇f (z), ∇λ−1
                                                                                   Ω (z))|
                                                                                           2
                                                                                             dx dy,
                 Ω                                          Ω
непосредственно получаем
     ZZ                            ZZ
                                 1
                 2 2
          |f (z)| λΩ (z) dx dy ≤        | (∇f (z), ∇λ−1
                                                     Ω (z))|
                                                             2
                                                               dx dy                             (10.13)
        Ω                        4    Ω
для любой функции f ∈ C0∞ (Ω).
   Пользуясь (10.13) и следующим неравенством Осгуда [33]
                                         2
               λΩ (z)|∇λ−1Ω (z)| ≤              , z = x + iy ∈ Ω,
                                    dist(z, ∂Ω)
приходим к соотношению
            ZZ                           Z Z −2
                        2 2                   λΩ (z)|∇f (z)|2
                 |f (z)| λΩ (z) dx dy ≤                       dx dy.
               Ω                            Ω   dist2 (z, ∂Ω)
Следовательно, для любой функции f ∈ C0∞ (Ω) имеет место неравенство
                 ZZ                                    ZZ
               2           |f (z)|2              1
          α(Ω)              2         dx dy ≤        2
                                                            |∇f (z)|2 dx dy,
                     Ω dist   (z, ∂Ω)          α(Ω)       Ω
или, что то же самое, неравенство
          ZZ                                   ZZ
                  |f (z)|2                1
                   2           dx dy ≤       4
                                                    |∇f (z)|2 dx dy,         (10.14)
             Ω dist (z, ∂Ω)             α(Ω)      Ω
где
                       α(Ω) := inf{λΩ (z)dist(z, ∂Ω) : z ∈ Ω}.
Применяя далее уточненную версию (10.12) оценки А. Е. Бирдона и Х. Пом-
меренке, получаем утверждения теоремы.

Страницы