Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.3. Верхние оценки констант Харди 117
Эти оценки в сочетании с леммой 10.1, примененной к функции u =
f(x, y), непосредственно ведут к утверждениям пункта 3) нашей теоремы.
Доказательство пункта 2). Очевидно, пункт 2) является прямым след-
ствием пункта 3), соответствующим случаю M
0
(Ω
2
) = 0.
Теорема доказана полностью.
Если число граничных компонент области m ≥ 3, то неравенство (10.8)
является, вообще говоря, неверным. Например, для Ω
3
= C \ {0, 1} = C \
{0, 1, ∞} формула не имеет места, даже если мы умножим правую часть
(10.8) на сколь угодно большое, но не зависящее от пробной функции, число,
т. е. имеет место соотношение
sup
u∈C
∞
0
(Ω
3
)
RR
Ω
3
|u(x, y)|
2
λ
2
Ω
3
(z) dx dy
RR
Ω
3
|∇u(x, y)|
2
dx dy
= ∞.
Тем не менее, для областей связности 3 и более аналог предыдущей тео-
ремы будет справедлив, но с иными оценками для констант Харди через
максимальный модуль рассматриваемой области.
Теорема 10.6. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть Ω – произвольная область на
комплексной плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1) если область Ω не содержит никакой окружности, имеющей в каче-
стве центра граничную точку этой области, то имеет место следующее
неравенство Харди
ZZ
Ω
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤
Γ
16
(1/4)
16π
8
ZZ
Ω
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω) ;
2) в общем случае справедливо следующее неравенство
ZZ
Ω
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤
≤ 16
µ
πM
0
(Ω) +
Γ
4
(1/4)
4π
2
4
ZZ
Ω
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω) .
Доказательство. Отметим сразу же, что пункт 1) является прямым след-
ствием пункта 2), соответствующим случаю M
0
(Ω) = 0.
При доказательстве пункта 2) естественно считать, что M
0
(Ω) < ∞. Пусть
λ
Ω
– плотность метрики Пуанкаре в Ω с кривизной −4.
10.3. Верхние оценки констант Харди                                        117

    Эти оценки в сочетании с леммой 10.1, примененной к функции u =
f (x, y), непосредственно ведут к утверждениям пункта 3) нашей теоремы.
    Доказательство пункта 2). Очевидно, пункт 2) является прямым след-
ствием пункта 3), соответствующим случаю M0 (Ω2 ) = 0.
    Теорема доказана полностью.
    Если число граничных компонент области m ≥ 3, то неравенство (10.8)
является, вообще говоря, неверным. Например, для Ω3 = C \ {0, 1} = C \
{0, 1, ∞} формула не имеет места, даже если мы умножим правую часть
(10.8) на сколь угодно большое, но не зависящее от пробной функции, число,
т. е. имеет место соотношение
                                RR
                                   Ω3
                                      |u(x, y)|2 λΩ2 3 (z) dx dy
                      sup          RR                            = ∞.
                    u∈C0∞ (Ω3 )       Ω3
                                         |∇u(x, y)|2 dx dy

   Тем не менее, для областей связности 3 и более аналог предыдущей тео-
ремы будет справедлив, но с иными оценками для констант Харди через
максимальный модуль рассматриваемой области.

Теорема 10.6. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть Ω – произвольная область на
комплексной плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Тогда
справедливы следующие утверждения:
   1) если область Ω не содержит никакой окружности, имеющей в каче-
стве центра граничную точку этой области, то имеет место следующее
неравенство Харди
       ZZ                                 ZZ
                |f |2           Γ16 (1/4)
               2        dx dy ≤       8
                                             |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (Ω) ;
           dist (z, ∂Ω)           16π
       Ω                                   Ω

2) в общем случае справедливо следующее неравенство
                         ZZ
                                  |f |2
                                           dx dy ≤
                             dist2 (z, ∂Ω)
                           Ω

             µ                    ¶4 Z Z
                       Γ4 (1/4)
        ≤ 16 πM0 (Ω) +                     |∇f |2 dx dy   ∀f ∈ C0∞ (Ω) .
                         4π 2
                                      Ω

   Доказательство. Отметим сразу же, что пункт 1) является прямым след-
ствием пункта 2), соответствующим случаю M0 (Ω) = 0.
   При доказательстве пункта 2) естественно считать, что M0 (Ω) < ∞. Пусть
λΩ – плотность метрики Пуанкаре в Ω с кривизной −4.

Страницы