Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.3. Верхние оценки констант Харди 115
Функция w = e
z
дает универсальное накрытие кольца K = {w : q < |w| < 1}
полосой Π(q). При этом образом открытого прямоугольника Ω
0
\∂Ω
0
является
кольцо K без отрезка [q, 1]. В силу конформной инвариантности метрики
Пуанкаре
|dw|
R (w, K)
=
|dz|
R
Π(q)
(z)
,
неравенство (10.11) принимает вид
ZZ
K
|F |
2
du dv
R
2
(w, K)
≤
ZZ
K
|∇F |
2
du dv, ∀F ∈ C
∞
0
(K) ,
где w = u + iv, F (w) = F (e
z
) = f (z) для любого w ∈ K.
Снова пользуясь конформной инвариантностью и учитывая произволь-
ность q, получаем, что вариационное неравенство для K верно и при замене
K на произвольную двусвязную область Ω
2
гиперболического типа. Этим и
завершается доказательство леммы.
Нам также потребуются следующая числовая характеристика области
γ(Ω) := sup
z∈Ω
¯
¯
∇λ
−1
Ω
(z)
¯
¯
и известная постоянная
a
0
=
1
2λ
C\{0,1}
(−1)
=
Γ
4
(1/4)
4π
2
= 4, 3768796...,
использованная Дж. А. Хемпелем [27] и Дж. А. Дженкинсом [30] для уста-
новления точной формы теоремы Ландау об оценке |F
0
(0)| для функции F ,
голоморфной в единичном круге и не принимающей значений 0 и 1.
Теорема 10.5. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть Ω – двусвязная область на
комплексной плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1) если Ω = A = {z ∈ C : r(A) < |z − z
0
| < R(A )} – круговое кольцо, то
ZZ
A
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤
µ
4 +
4
π
2
ln
2
R(a)
r(a)
ZZ
A
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(A) ;
2) если Ω – двусвязная область на комплексной плоскости C, которая
не содержит никакой окружности, имеющей в качестве центра граничную
точку этой области, то
ZZ
Ω
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤
Γ
8
(1/4)
4π
4
ZZ
Ω
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω) ;
10.3. Верхние оценки констант Харди                                         115

Функция w = ez дает универсальное накрытие кольца K = {w : q < |w| < 1}
полосой Π(q). При этом образом открытого прямоугольника Ω0 \∂Ω0 является
кольцо K без отрезка [q, 1]. В силу конформной инвариантности метрики
Пуанкаре
                             |dw|       |dz|
                                    =           ,
                           R (w, K)   RΠ(q) (z)
неравенство (10.11) принимает вид
             ZZ                 ZZ
                  |F |2 du dv
                              ≤    |∇F |2 du dv,           ∀F ∈ C0∞ (K) ,
                  R2 (w, K)
               K                   K

где w = u + iv, F (w) = F (ez ) = f (z) для любого w ∈ K.
   Снова пользуясь конформной инвариантностью и учитывая произволь-
ность q, получаем, что вариационное неравенство для K верно и при замене
K на произвольную двусвязную область Ω2 гиперболического типа. Этим и
завершается доказательство леммы.
   Нам также потребуются следующая числовая характеристика области
                                    ¯         ¯
                        γ(Ω) := sup ¯∇λ−1
                                       Ω  (z) ¯
                                         z∈Ω
и известная постоянная
                              1              Γ4 (1/4)
                 a0 =                    =            = 4, 3768796...,
                        2λC\{0,1} (−1)         4π 2
использованная Дж. А. Хемпелем [27] и Дж. А. Дженкинсом [30] для уста-
новления точной формы теоремы Ландау об оценке |F 0 (0)| для функции F ,
голоморфной в единичном круге и не принимающей значений 0 и 1.
Теорема 10.5. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть Ω – двусвязная область на
комплексной плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Тогда
справедливы следующие утверждения:
   1) если Ω = A = {z ∈ C : r(A) < |z − z0 | < R(A)} – круговое кольцо, то
 ZZ                      µ                ¶ ZZ
          |f |2               4 2 R(a)
         2        dx dy ≤ 4 + 2 ln                |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (A) ;
     dist (z, ∂Ω)             π      r(a)
  A                                                    A

   2) если Ω – двусвязная область на комплексной плоскости C, которая
не содержит никакой окружности, имеющей в качестве центра граничную
точку этой области, то
        ZZ                                ZZ
                |f |2            Γ8 (1/4)
                         dx dy ≤             |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (Ω) ;
           dist2 (z, ∂Ω)           4π 4
         Ω                                       Ω

Страницы