Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

116 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
3) если Ω – произвольная двусвязная область на комплексной плоскости
C с равномерно совершенной границей и с максимальным модулем M
0
(Ω),
то
ZZ
Ω
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤
≤ 4
µ
πM
0
(Ω) +
Γ
4
(1/4)
4π
2
2
ZZ
Ω
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω) .
Доказательство пункта 1). Для произвольно взятой точки z ∈ A че-
рез ζ ∈ ∂A обозначим ближайшую к ней точку, взятую на границе коль-
ца. Интегрируя вдоль отрезка [ζ, z] с учетом соотношений R(ζ, A) = 0 и
|ζ − z| = dist(z, ∂A), получаем
R(z, A) =
Z
|ζ−z|
0
dR(ζ + se
iθ
, A)
ds
ds ≤ γ(A) |ζ −z| = γ(A) dist(z, ∂A).
Поэтому неравенство (10.8) леммы 10.1 при u = f(x, y) влечет неравенство
ZZ
A
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤ γ
2
(A)
ZZ
A
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(A) .
Согласно формуле
γ
2
(A) = 4 + 16 M
2
(A) = 4 +
4
π
2
ln
2
r(A)
R(A)
,
доказанной в [20], с. 43 (см. также упражнение 2 конце этой главы), мы
можем выразить характеристику γ(A) через модуль кольца и получить до-
казываемое неравенство пункта 1 теоремы.
Доказательство пункта 3). А. Е. Бирдон и Х. Поммеренке [22] доказали,
что для любой области гиперболического типа
1
2λ
Ω
(z)dist(z, ∂Ω)
≤ πM
0
(Ω) + a
0
, z ∈ Ω,
где a
0
– постоянная из теоремы Ландау. Точное значение этой постоянной
стало известно позже, и мы привели ее перед формулировкой теоремы. Таким
образом, справедлива оценка
1
dist
2
(z, ∂Ω)
≤
µ
2πM
0
(Ω) +
Γ
4
(1/4)
2π
2
2
λ
2
Ω
(z), z ∈ Ω. (10.12)
116                                          Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

   3) если Ω – произвольная двусвязная область на комплексной плоскости
C с равномерно совершенной границей и с максимальным модулем M0 (Ω),
то                       ZZ
                                   |f |2
                                            dx dy ≤
                              dist2 (z, ∂Ω)
                                         Ω
              µ                                ¶2 Z Z
                        Γ4 (1/4)
          ≤ 4 πM0 (Ω) +                                  |∇f |2 dx dy   ∀f ∈ C0∞ (Ω) .
                          4π 2
                                                    Ω

    Доказательство пункта 1). Для произвольно взятой точки z ∈ A че-
рез ζ ∈ ∂A обозначим ближайшую к ней точку, взятую на границе коль-
ца. Интегрируя вдоль отрезка [ζ, z] с учетом соотношений R(ζ, A) = 0 и
|ζ − z| = dist(z, ∂A), получаем
                  Z       |ζ−z|
                                  dR(ζ + seiθ , A)
      R(z, A) =                                    ds ≤ γ(A) |ζ − z| = γ(A) dist(z, ∂A).
                      0                ds

Поэтому неравенство (10.8) леммы 10.1 при u = f (x, y) влечет неравенство
      ZZ                             ZZ
               |f |2
              2
                                2
                       dx dy ≤ γ (A)    |∇f |2 dx dy  ∀f ∈ C0∞ (A) .
          dist (z, ∂Ω)
          A                                          A

Согласно формуле
                                                               4 2 r(A)
                           γ 2 (A) = 4 + 16 M 2 (A) = 4 +         ln      ,
                                                               π2    R(A)

доказанной в [20], с. 43 (см. также упражнение 2 конце этой главы), мы
можем выразить характеристику γ(A) через модуль кольца и получить до-
казываемое неравенство пункта 1 теоремы.
   Доказательство пункта 3). А. Е. Бирдон и Х. Поммеренке [22] доказали,
что для любой области гиперболического типа
                                  1
                                             ≤ πM0 (Ω) + a0 ,           z ∈ Ω,
                          2λΩ (z)dist(z, ∂Ω)
где a0 – постоянная из теоремы Ландау. Точное значение этой постоянной
стало известно позже, и мы привели ее перед формулировкой теоремы. Таким
образом, справедлива оценка
                        µ                    ¶2
                1                   Γ4 (1/4)
                       ≤ 2πM0 (Ω) +             λ2Ω (z), z ∈ Ω.   (10.12)
         dist2 (z, ∂Ω)                2π 2

Страницы