Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 114 стр.

114                               Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

называют гиперболическим радиусом. Напомним также, что в случае одно-
связных областей, не содержащих бесконечно удаленной точки, гиперболи-
ческий радиус R(z, Ω) совпадает с конформным радиусом RΩ (z).
   Для оценки сверху константы Харди для двусвязных областей нам потре-
буется конформно инвариантное неравенство. Специалистам по гиперболиче-
ской геометрии известно, что аналог неравенства (10.6) верен и для двусвяз-
ных областей. Но доказательство этого факта, насколько известно автору,
можно извлечь лишь из научных статей, посвященных оценкам собственных
чисел лапласиана на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной.
   Для удобства читателя мы приведем простое прямое доказательство ана-
лога неравенства (10.6) с заменой конформного радиуса на гиперболический.
Лемма 10.1. Если Ω2 – двусвязная область гиперболического типа, то
справедливо неравенство
    ZZ                     ZZ
                  2
        |∇u(x, y)| dx dy ≥    |u(x, y)|2 λΩ2 2 (z) dx dy ∀u ∈ C0∞ (Ω2 ). (10.8)
        Ω2                        Ω2

      Доказательство леммы (см. [3]). Рассмотрим полосу

                     Π(q) = {z : log q < Rez < 0}   (0 ≤ q < 1).

Отметим, что случаю q = 0 соответствует полуплоскость. В силу (10.6) имеет
место неравенство
           ZZ                 ZZ
                |f |2 dx dy
                   2
                            ≤    |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (Π(q)) .      (10.9)
                RΠ(q) (z)
              Π(q)                Π(q)

В качестве f выберем функцию, обладающую свойством 2π-периодичности
по переменной y на отрезке [0, 2πN ], т.е. будем считать, что fN (x, y) =
fN (x, y + 2πk) при 0 ≤ y ≤ 2π и k = 1, . . . , N − 1. Вставляя, если нужно,
лишние звенья длины 2π по переменной y, мы можем считать, что (10.9)
имеет вид           ZZ                   ZZ
                          |f |2 dx dy
                  N          2
                                      ≤N       |∇f |2 dx dy + A,      (10.10)
                       Ω0 R  Π(q) (z)       Ω0

где N – любое натуральное число, Ω0 – прямоугольник [log q, 0] × [0, 2π], A
– величина, не зависящая от N , функция f удовлетворяет граничным усло-
виям: f (x, 0) = f (x, 2π), f (x, y) = 0 на ∂Π(q). Деля обе части (10.10) на N и
переходя к пределу при N → +∞, получаем
                        ZZ                  ZZ
                              |f |2 dx dy
                                 2
                                          ≤       |∇f |2 dx dy.           (10.11)
                           Ω0  R Π(q) (z)      Ω0