Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.3. Верхние оценки констант Харди 113
Таким образом, теорема доказана. Приведем два пояснения к формули-
ровке и доказательству этой важной теоремы.
1) А. Анкона [15] получает (10.6) сначала для полуплоскости
Π = {z = x + iy ∈ C : x > 0}
как простое следствие неравенства Харди (10.3) следующим образом.
Полагая s = p = 2 и f(t) = |u(t, y)| (u ∈ C
∞
0
(Π)) в неравенстве Харди
(10.3), имеем
Z
∞
0
|u(t, y)|
2
t
2
dt ≤ 4
Z
∞
0
¯
¯
¯
¯
∂u(t, y)
∂t
¯
¯
¯
¯
2
dt ≤ 4
Z
∞
0
|∇u(t, y)|
2
dt,
следовательно,
Z
∞
−∞
dy
Z
∞
0
|u(x, y)|
2
4x
2
dx ≤
Z
∞
−∞
dy
Z
∞
0
|∇u(x, y)|
2
dx.
Поскольку 4x
2
= R
2
Π
(z), неравенство (10.6) доказано для случая полуплоско-
сти. Остается заметить, что неравенство (10.6) является конформно инвари-
антным, поэтому оно будет верно для любой односвязной области, конформ-
но эквивалентной полуплоскости.
2) Постоянная 16 в теореме А. Анконы не является, по-видимому, опти-
мальной, т. е. наименьшей из возможных. В настоящее время можно лишь
утверждать следующее: наилучшая постоянная C(Ω), определяемая равен-
ством
C(Ω) = sup
f∈C
∞
0
(Ω)
RR
Ω
|f|
2
dist
−2
(z, ∂Ω)dx dy
RR
Ω
|∇f|
2
dx dy
,
должна удовлетворять неравенствам 4 ≤ C(Ω) ≤ 16 для любой односвязной
области Ω. Таким образом, остается открытой проблемой нахождение точной
константы
C = sup C(Ω) ∈ [4, 16],
где супремум берется по всем односвязным областям Ω ⊂ C гиперболическо-
го типа.
Прежде чем перейти к обсуждению неравенств Харди в многосвязных
областях, напомним одно определение. Пусть λ
Ω
(z) – плотность метрики Пу-
анкаре с кривизной −4 в области Ω гиперболического типа. В главе 2 было
отмечено, что обратную величину
R(z, Ω) :=
1
λ
Ω
(z)
10.3. Верхние оценки констант Харди                                       113

   Таким образом, теорема доказана. Приведем два пояснения к формули-
ровке и доказательству этой важной теоремы.

   1) А. Анкона [15] получает (10.6) сначала для полуплоскости
                        Π = {z = x + iy ∈ C : x > 0}
как простое следствие неравенства Харди (10.3) следующим образом.
   Полагая s = p = 2 и f (t) = |u(t, y)| (u ∈ C0∞ (Π)) в неравенстве Харди
(10.3), имеем
          Z ∞                   Z ∞¯             ¯         Z ∞
              |u(t, y)|2              ¯ ∂u(t, y) ¯2
                         dt ≤ 4       ¯          ¯  dt ≤ 4     |∇u(t, y)|2 dt,
                  t2                  ¯   ∂t     ¯
           0                      0                         0
следовательно,
             Z ∞     Z ∞                     Z ∞       Z ∞
                           |u(x, y)|2
                  dy             2
                                       dx ≤         dy     |∇u(x, y)|2 dx.
              −∞       0      4x               −∞       0

Поскольку 4x2 = RΠ2 (z), неравенство (10.6) доказано для случая полуплоско-
сти. Остается заметить, что неравенство (10.6) является конформно инвари-
антным, поэтому оно будет верно для любой односвязной области, конформ-
но эквивалентной полуплоскости.
   2) Постоянная 16 в теореме А. Анконы не является, по-видимому, опти-
мальной, т. е. наименьшей из возможных. В настоящее время можно лишь
утверждать следующее: наилучшая постоянная C(Ω), определяемая равен-
ством                                 RR
                                         |f |2 dist−2 (z, ∂Ω)dx dy
                  C(Ω) = sup Ω               RR                    ,
                           f ∈C0∞ (Ω)            |∇f |2 dx dy
                                        Ω
должна удовлетворять неравенствам 4 ≤ C(Ω) ≤ 16 для любой односвязной
области Ω. Таким образом, остается открытой проблемой нахождение точной
константы
                          C = sup C(Ω) ∈ [4, 16],
где супремум берется по всем односвязным областям Ω ⊂ C гиперболическо-
го типа.

   Прежде чем перейти к обсуждению неравенств Харди в многосвязных
областях, напомним одно определение. Пусть λΩ (z) – плотность метрики Пу-
анкаре с кривизной −4 в области Ω гиперболического типа. В главе 2 было
отмечено, что обратную величину
                                             1
                              R(z, Ω) :=
                                           λΩ (z)

Страницы