ВУЗ:
Составители:
10.3. Верхние оценки констант Харди 113
Таким образом, теорема доказана. Приведем два пояснения к формули-
ровке и доказательству этой важной теоремы.
1) А. Анкона [15] получает (10.6) сначала для полуплоскости
Π = {z = x + iy ∈ C : x > 0}
как простое следствие неравенства Харди (10.3) следующим образом.
Полагая s = p = 2 и f(t) = |u(t, y)| (u ∈ C
∞
0
(Π)) в неравенстве Харди
(10.3), имеем
Z
∞
0
|u(t, y)|
2
t
2
dt ≤ 4
Z
∞
0
¯
¯
¯
¯
∂u(t, y)
∂t
¯
¯
¯
¯
2
dt ≤ 4
Z
∞
0
|∇u(t, y)|
2
dt,
следовательно,
Z
∞
−∞
dy
Z
∞
0
|u(x, y)|
2
4x
2
dx ≤
Z
∞
−∞
dy
Z
∞
0
|∇u(x, y)|
2
dx.
Поскольку 4x
2
= R
2
Π
(z), неравенство (10.6) доказано для случая полуплоско-
сти. Остается заметить, что неравенство (10.6) является конформно инвари-
антным, поэтому оно будет верно для любой односвязной области, конформ-
но эквивалентной полуплоскости.
2) Постоянная 16 в теореме А. Анконы не является, по-видимому, опти-
мальной, т. е. наименьшей из возможных. В настоящее время можно лишь
утверждать следующее: наилучшая постоянная C(Ω), определяемая равен-
ством
C(Ω) = sup
f∈C
∞
0
(Ω)
RR
Ω
|f|
2
dist
−2
(z, ∂Ω)dx dy
RR
Ω
|∇f|
2
dx dy
,
должна удовлетворять неравенствам 4 ≤ C(Ω) ≤ 16 для любой односвязной
области Ω. Таким образом, остается открытой проблемой нахождение точной
константы
C = sup C(Ω) ∈ [4, 16],
где супремум берется по всем односвязным областям Ω ⊂ C гиперболическо-
го типа.
Прежде чем перейти к обсуждению неравенств Харди в многосвязных
областях, напомним одно определение. Пусть λ
Ω
(z) – плотность метрики Пу-
анкаре с кривизной −4 в области Ω гиперболического типа. В главе 2 было
отмечено, что обратную величину
R(z, Ω) :=
1
λ
Ω
(z)
10.3. Верхние оценки констант Харди 113 Таким образом, теорема доказана. Приведем два пояснения к формули- ровке и доказательству этой важной теоремы. 1) А. Анкона [15] получает (10.6) сначала для полуплоскости Π = {z = x + iy ∈ C : x > 0} как простое следствие неравенства Харди (10.3) следующим образом. Полагая s = p = 2 и f (t) = |u(t, y)| (u ∈ C0∞ (Π)) в неравенстве Харди (10.3), имеем Z ∞ Z ∞¯ ¯ Z ∞ |u(t, y)|2 ¯ ∂u(t, y) ¯2 dt ≤ 4 ¯ ¯ dt ≤ 4 |∇u(t, y)|2 dt, t2 ¯ ∂t ¯ 0 0 0 следовательно, Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ |u(x, y)|2 dy 2 dx ≤ dy |∇u(x, y)|2 dx. −∞ 0 4x −∞ 0 Поскольку 4x2 = RΠ2 (z), неравенство (10.6) доказано для случая полуплоско- сти. Остается заметить, что неравенство (10.6) является конформно инвари- антным, поэтому оно будет верно для любой односвязной области, конформ- но эквивалентной полуплоскости. 2) Постоянная 16 в теореме А. Анконы не является, по-видимому, опти- мальной, т. е. наименьшей из возможных. В настоящее время можно лишь утверждать следующее: наилучшая постоянная C(Ω), определяемая равен- ством RR |f |2 dist−2 (z, ∂Ω)dx dy C(Ω) = sup Ω RR , f ∈C0∞ (Ω) |∇f |2 dx dy Ω должна удовлетворять неравенствам 4 ≤ C(Ω) ≤ 16 для любой односвязной области Ω. Таким образом, остается открытой проблемой нахождение точной константы C = sup C(Ω) ∈ [4, 16], где супремум берется по всем односвязным областям Ω ⊂ C гиперболическо- го типа. Прежде чем перейти к обсуждению неравенств Харди в многосвязных областях, напомним одно определение. Пусть λΩ (z) – плотность метрики Пу- анкаре с кривизной −4 в области Ω гиперболического типа. В главе 2 было отмечено, что обратную величину 1 R(z, Ω) := λΩ (z)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »