Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.2. Области с равномерно совершенными границами 111
Из этого предположения и из определения M
0
(Ω) следует, что для любого
числа m, удовлетворяющего неравенствам
p
C(Ω)/2 < m < M
0
(Ω),
существует такое круговое кольцо
A = {z ∈ C : r (A) < |z − z
0
| < R(A)} ⊂ Ω,
что z
0
∈ ∂Ω и
p
C(Ω) < 2m =
1
π
ln
R(A)
r(A)
< ∞.
Так как постоянная Харди C(Ω) является инвариантной при линейных пре-
образованиях Ω, без ограничения общности можно считать, что
z
0
= 0, R(A) = 1, r(A) = ε ∈ (0, 1).
Тогда круговое кольцо имеет вид
A = {z ∈ C : ε < |z| < 1} ⊂ Ω,
а наше ограничение
p
C(Ω) < 2m эквивалентно неравенству
m =
1
2π
ln
1
ε
>
p
C(Ω)
2
.
Запишем теперь рассматриваемое неравенство Харди для более узкого семей-
ства функций, а именно, для произвольной функции f ∈ C
∞
0
(A) ⊂ C
∞
0
(Ω).
Будем иметь неравенство
ZZ
A
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤ C(Ω)
ZZ
A
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(A).
Перейдем к полярным координатам и еще раз сузим класс допустимых функ-
ций, а именно, возьмем лишь радиальные функции, т. е. функции вида
f(r, θ) = v(r), v ∈ C
∞
0
(ε, 1).
Пользуясь простой оценкой dist (z, ∂Ω) ≤ |z| и радиальными функциями,
получаем из последнего неравенства
Z
1
ε
|v(r)|
2
rdr
r
2
≤ C(Ω)
Z
1
ε
|v
0
(r)|
2
rdr ∀ v ∈ C
∞
0
(ε, 1).
10.2. Области с равномерно совершенными границами                   111

Из этого предположения и из определения M0 (Ω) следует, что для любого
числа m, удовлетворяющего неравенствам
                       p
                         C(Ω)/2 < m < M0 (Ω),

существует такое круговое кольцо

                A = {z ∈ C : r(A) < |z − z0 | < R(A)} ⊂ Ω,

что z0 ∈ ∂Ω и
                     p                      1    R(A)
                         C(Ω) < 2m =          ln      < ∞.
                                            π    r(A)
Так как постоянная Харди C(Ω) является инвариантной при линейных пре-
образованиях Ω, без ограничения общности можно считать, что

                  z0 = 0,     R(A) = 1,      r(A) = ε ∈ (0, 1).

Тогда круговое кольцо имеет вид

                         A = {z ∈ C : ε < |z| < 1} ⊂ Ω,
                     p
а наше ограничение    C(Ω) < 2m эквивалентно неравенству
                                       p
                               1   1     C(Ω)
                         m=      ln >         .
                              2π   ε      2
Запишем теперь рассматриваемое неравенство Харди для более узкого семей-
ства функций, а именно, для произвольной функции f ∈ C0∞ (A) ⊂ C0∞ (Ω).
Будем иметь неравенство
        ZZ                               ZZ
                  |f |2
                  2         dx dy ≤ C(Ω)      |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (A).
           A dist   (z, ∂Ω)                 A

Перейдем к полярным координатам и еще раз сузим класс допустимых функ-
ций, а именно, возьмем лишь радиальные функции, т. е. функции вида

                         f (r, θ) = v(r),    v ∈ C0∞ (ε, 1).

Пользуясь простой оценкой dist (z, ∂Ω) ≤ |z| и радиальными функциями,
получаем из последнего неравенства
           Z 1                    Z 1
               |v(r)|2 rdr
                     2
                           ≤ C(Ω)     |v 0 (r)|2 rdr ∀ v ∈ C0∞ (ε, 1).
             ε     r               ε

Страницы